2937. Trigonometrijske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x .$

2 \sin x \cos x > \cos x

Prebacujemo sve članove na levu stranu nejednačine.

2 \sin x \cos x - \cos x > 0

Izvlačimo zajednički činilac $\cos x .$

\cos x (2 \sin x - 1) > 0

Da bismo rešili nejednačinu, analiziraćemo znak svakog činioca na osnovnom intervalu $[0, 2\pi] .$ Prvo računamo nule činilaca:

\begin{aligned} \cos x &= 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2} \\ 2 \sin x - 1 &= 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{5\pi}{6} \end{aligned}

Pravimo tabelu znakova za interval $[0, 2\pi] .$ Kritične tačke dele interval na pet podintervala.

x \in (0, \frac{\pi}{6})

x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})

x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})

x \in (\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})

x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)

\cos x

+

+

-

-

+

2\sin x - 1

-

+

+

-

-

Proizvod

-

+

-

+

-

Na osnovu tabele, proizvod je strogo pozitivan na intervalima gde je znak "+".

x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right)

Pošto su funkcije sinus i kosinus periodične sa osnovnim periodom $2\pi ,$ dodajemo $2k\pi$ svakoj granici intervala kako bismo dobili opšte rešenje, gde je $k \in \mathbb{Z} .$

x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}

990