TEKST ZADATKA
Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 848-857): f ( x ) = sin x + cos x . f(x) = \sin x + \cos x . f ( x ) = sin x + cos x .
REŠENJE ZADATKA
Određujemo domen i periodičnost funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve. Kako su funkcije sin x \sin x sin x i cos x \cos x cos x periodične sa osnovnim periodom 2 π , 2\pi , 2 π , i funkcija f ( x ) f(x) f ( x ) je periodična sa istim periodom. Zbog toga ćemo funkciju ispitivati na intervalu [ 0 , 2 π ] . [0, 2\pi] . [ 0 , 2 π ] .
D = R , T = 2 π D = \mathbb{R}, \quad T = 2\pi D = R , T = 2 π Radi lakšeg ispitivanja, transformisaćemo funkciju množenjem i deljenjem sa 2 , \sqrt{2} , 2 , koristeći adicionu formulu za sinus.
f ( x ) = 2 ( 2 2 sin x + 2 2 cos x ) = 2 ( sin x cos π 4 + cos x sin π 4 ) = 2 sin ( x + π 4 ) f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) f ( x ) = 2 ( 2 2 sin x + 2 2 cos x ) = 2 ( sin x cos 4 π + cos x sin 4 π ) = 2 sin ( x + 4 π ) Nule funkcije dobijamo kada izjednačimo funkciju sa nulom.
f ( x ) = 0 ⟺ sin ( x + π 4 ) = 0 ⟹ x + π 4 = k π ⟹ x = − π 4 + k π , k ∈ Z f(x) = 0 \iff \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{4} = k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} f ( x ) = 0 ⟺ sin ( x + 4 π ) = 0 ⟹ x + 4 π = kπ ⟹ x = − 4 π + kπ , k ∈ Z Na posmatranom intervalu [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [ 0 , 2 π ] nule funkcije su:
x 1 = 3 π 4 , x 2 = 7 π 4 x_1 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{4} x 1 = 4 3 π , x 2 = 4 7 π Presek sa y-osom dobijamo za x = 0. x = 0 . x = 0.
f ( 0 ) = sin 0 + cos 0 = 1 f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 1 f ( 0 ) = sin 0 + cos 0 = 1 Znak funkcije zavisi od znaka sinusa na posmatranom intervalu [ 0 , 2 π ] . [0, 2\pi] . [ 0 , 2 π ] .
f ( x ) > 0 za x ∈ [ 0 , 3 π 4 ) ∪ ( 7 π 4 , 2 π ] f ( x ) < 0 za x ∈ ( 3 π 4 , 7 π 4 ) \begin{aligned} f(x) > 0 &\quad \text{za } x \in \left[0, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right] \\ f(x) < 0 &\quad \text{za } x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right) \end{aligned} f ( x ) > 0 f ( x ) < 0 za x ∈ [ 0 , 4 3 π ) ∪ ( 4 7 π , 2 π ] za x ∈ ( 4 3 π , 4 7 π ) Proveravamo parnost funkcije. Funkcija nije ni parna ni neparna.
f ( − x ) = sin ( − x ) + cos ( − x ) = − sin x + cos x ≠ ± f ( x ) f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x \neq \pm f(x) f ( − x ) = sin ( − x ) + cos ( − x ) = − sin x + cos x = ± f ( x ) Računamo prvi izvod funkcije da bismo odredili monotonost i ekstremne vrednosti. Izvod takođe možemo transformisati na sličan način kao i samu funkciju.
f ′ ( x ) = ( sin x + cos x ) ′ = cos x − sin x = 2 cos ( x + π 4 ) f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) f ′ ( x ) = ( sin x + cos x ) ′ = cos x − sin x = 2 cos ( x + 4 π ) Nule prvog izvoda (stacionarne tačke) dobijamo izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom.
f ′ ( x ) = 0 ⟺ cos ( x + π 4 ) = 0 ⟹ x + π 4 = π 2 + k π ⟹ x = π 4 + k π , k ∈ Z f'(x) = 0 \iff \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} f ′ ( x ) = 0 ⟺ cos ( x + 4 π ) = 0 ⟹ x + 4 π = 2 π + kπ ⟹ x = 4 π + kπ , k ∈ Z Na intervalu [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [ 0 , 2 π ] stacionarne tačke su:
x 1 = π 4 , x 2 = 5 π 4 x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{4} x 1 = 4 π , x 2 = 4 5 π Određujemo znak prvog izvoda na intervalu [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [ 0 , 2 π ] radi utvrđivanja monotonosti.
f ′ ( x ) > 0 ⟹ x ∈ [ 0 , π 4 ) ∪ ( 5 π 4 , 2 π ] ( funkcija raste ) f ′ ( x ) < 0 ⟹ x ∈ ( π 4 , 5 π 4 ) ( funkcija opada ) \begin{aligned} f'(x) > 0 &\implies x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right] \quad (\text{funkcija raste}) \\ f'(x) < 0 &\implies x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right) \quad (\text{funkcija opada}) \end{aligned} f ′ ( x ) > 0 f ′ ( x ) < 0 ⟹ x ∈ [ 0 , 4 π ) ∪ ( 4 5 π , 2 π ] ( funkcija raste ) ⟹ x ∈ ( 4 π , 4 5 π ) ( funkcija opada ) Na osnovu promene znaka prvog izvoda, funkcija ima maksimum u x = π 4 x = \frac{\pi}{4} x = 4 π i minimum u x = 5 π 4 . x = \frac{5\pi}{4} . x = 4 5 π .
P max = ( π 4 , f ( π 4 ) ) = ( π 4 , 2 ) P min = ( 5 π 4 , f ( 5 π 4 ) ) = ( 5 π 4 , − 2 ) \begin{aligned} P_{\max} &= \left(\frac{\pi}{4}, f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right) \\ P_{\min} &= \left(\frac{5\pi}{4}, f\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{5\pi}{4}, -\sqrt{2}\right) \end{aligned} P m a x P m i n = ( 4 π , f ( 4 π ) ) = ( 4 π , 2 ) = ( 4 5 π , f ( 4 5 π ) ) = ( 4 5 π , − 2 ) Računamo drugi izvod funkcije za određivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.
f ′ ′ ( x ) = ( cos x − sin x ) ′ = − sin x − cos x = − f ( x ) f''(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x = -f(x) f ′′ ( x ) = ( cos x − sin x ) ′ = − sin x − cos x = − f ( x ) Drugi izvod je jednak nuli tamo gde je i sama funkcija jednaka nuli. Znak drugog izvoda je suprotan znaku funkcije.
f ′ ′ ( x ) = 0 ⟹ x = 3 π 4 , x = 7 π 4 f ′ ′ ( x ) > 0 ⟹ x ∈ ( 3 π 4 , 7 π 4 ) ( konveksna, ∪ ) f ′ ′ ( x ) < 0 ⟹ x ∈ [ 0 , 3 π 4 ) ∪ ( 7 π 4 , 2 π ] ( konkavna, ∩ ) \begin{aligned} f''(x) = 0 &\implies x = \frac{3\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} \\ f''(x) > 0 &\implies x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right) \quad (\text{konveksna, } \cup) \\ f''(x) < 0 &\implies x \in \left[0, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right] \quad (\text{konkavna, } \cap) \end{aligned} f ′′ ( x ) = 0 f ′′ ( x ) > 0 f ′′ ( x ) < 0 ⟹ x = 4 3 π , x = 4 7 π ⟹ x ∈ ( 4 3 π , 4 7 π ) ( konveksna, ∪ ) ⟹ x ∈ [ 0 , 4 3 π ) ∪ ( 4 7 π , 2 π ] ( konkavna, ∩ ) Funkcija je neprekidna na celom domenu i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.
Nema asimptota. \text{Nema asimptota.} Nema asimptota. Na osnovu svih dobijenih podataka, crta se grafik funkcije koji predstavlja sinusoidu pomerenu ulevo za π 4 \frac{\pi}{4} 4 π i sa amplitudom 2 . \sqrt{2} . 2 .
f ( x ) = 2 sin ( x + π 4 ) f(x) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) f ( x ) = 2 sin ( x + 4 π )