2746. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Određujemo domen i periodičnost funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve. Kako su funkcije $\sin x$ i $\cos x$ periodične sa osnovnim periodom $2\pi ,$ i funkcija $f(x)$ je periodična sa istim periodom. Zbog toga ćemo funkciju ispitivati na intervalu $[0, 2\pi] .$

D = \mathbb{R}, \quad T = 2\pi

Radi lakšeg ispitivanja, transformisaćemo funkciju množenjem i deljenjem sa $\sqrt{2} ,$ koristeći adicionu formulu za sinus.

f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Nule funkcije dobijamo kada izjednačimo funkciju sa nulom.

f(x) = 0 \iff \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{4} = k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na posmatranom intervalu $[0, 2\pi]$ nule funkcije su:

x_1 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{4}

Presek sa y-osom dobijamo za $x = 0 .$

f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 1

Znak funkcije zavisi od znaka sinusa na posmatranom intervalu $[0, 2\pi] .$

\begin{aligned} f(x) > 0 &\quad \text{za } x \in \left[0, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right] \\ f(x) < 0 &\quad \text{za } x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right) \end{aligned}

Proveravamo parnost funkcije. Funkcija nije ni parna ni neparna.

f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x \neq \pm f(x)

Računamo prvi izvod funkcije da bismo odredili monotonost i ekstremne vrednosti. Izvod takođe možemo transformisati na sličan način kao i samu funkciju.

f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Nule prvog izvoda (stacionarne tačke) dobijamo izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom.

f'(x) = 0 \iff \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na intervalu $[0, 2\pi]$ stacionarne tačke su:

x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{4}

Određujemo znak prvog izvoda na intervalu $[0, 2\pi]$ radi utvrđivanja monotonosti.

\begin{aligned} f'(x) > 0 &\implies x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right] \quad (\text{funkcija raste}) \\ f'(x) < 0 &\implies x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right) \quad (\text{funkcija opada}) \end{aligned}

Na osnovu promene znaka prvog izvoda, funkcija ima maksimum u $x = \frac{\pi}{4}$ i minimum u $x = \frac{5\pi}{4} .$

\begin{aligned} P_{\max} &= \left(\frac{\pi}{4}, f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right) \\ P_{\min} &= \left(\frac{5\pi}{4}, f\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{5\pi}{4}, -\sqrt{2}\right) \end{aligned}

Računamo drugi izvod funkcije za određivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.

f''(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x = -f(x)

Drugi izvod je jednak nuli tamo gde je i sama funkcija jednaka nuli. Znak drugog izvoda je suprotan znaku funkcije.

\begin{aligned} f''(x) = 0 &\implies x = \frac{3\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} \\ f''(x) > 0 &\implies x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right) \quad (\text{konveksna, } \cup) \\ f''(x) < 0 &\implies x \in \left[0, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right] \quad (\text{konkavna, } \cap) \end{aligned}

Funkcija je neprekidna na celom domenu i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

\text{Nema asimptota.}

Na osnovu svih dobijenih podataka, crta se grafik funkcije koji predstavlja sinusoidu pomerenu ulevo za $\frac{\pi}{4}$ i sa amplitudom $\sqrt{2} .$

f(x) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

856