2747. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Da bismo olakšali ispitivanje toka funkcije, prvo ćemo je transformisati u jednostavniji oblik. Koristićemo periodičnost kosinusa i vezu između sinusa i kosinusa.

\begin{aligned} \cos\left(2x - \frac{5\pi}{4}\right) &= \cos\left(2x - \frac{5\pi}{4} + 2\pi\right) = \cos\left(2x + \frac{3\pi}{4}\right) \\ &= \cos\left(2x + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}

Zamenom u početnu funkciju dobijamo uprošćen oblik funkcije:

f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)

Domen funkcije je skup svih realnih brojeva, a osnovni period računamo na osnovu koeficijenta uz $x .$

D = \mathbb{R}, \quad T = \frac{2\pi}{2} = \pi

Nule funkcije dobijamo rešavanjem jednačine $f(x) = 0 .$

\begin{aligned} 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) &= 0 \\ 2x + \frac{\pi}{4} &= k\pi \\ 2x &= -\frac{\pi}{4} + k\pi \\ x &= -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Znak funkcije određujemo rešavanjem nejednačina $f(x) > 0$ i $f(x) < 0 .$ Funkcija je pozitivna na sledećem intervalu:

\begin{aligned} f(x) > 0 &\iff 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi \\ &\iff -\frac{\pi}{4} + 2k\pi < 2x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ &\iff x \in \left(-\frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{3\pi}{8} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija je negativna na sledećem intervalu:

\begin{aligned} f(x) < 0 &\iff \pi + 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2k\pi \\ &\iff \frac{3\pi}{4} + 2k\pi < 2x < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \\ &\iff x \in \left(\frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{7\pi}{8} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Prvi izvod funkcije računamo za određivanje monotonosti i ekstremnih vrednosti.

f'(x) = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 = 4\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)

Ekstremne vrednosti dobijamo izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom: $f'(x) = 0 .$

\begin{aligned} 4\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) &= 0 \\ 2x + \frac{\pi}{4} &= \frac{\pi}{2} + k\pi \\ 2x &= \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x &= \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Za parne vrednosti $k = 2m$ dobijamo tačke maksimuma, a za neparne $k = 2m+1$ tačke minimuma.

\begin{aligned} M_{max} &\left(\frac{\pi}{8} + m\pi, 2\right), \quad m \in \mathbb{Z} \\ M_{min} &\left(\frac{5\pi}{8} + m\pi, -2\right), \quad m \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija raste kada je $f'(x) > 0 .$

\begin{aligned} -\frac{\pi}{2} + 2k\pi &< 2x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi &< 2x < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ x &\in \left(-\frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{\pi}{8} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija opada kada je $f'(x) < 0 .$

\begin{aligned} \frac{\pi}{2} + 2k\pi &< 2x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \\ \frac{\pi}{4} + 2k\pi &< 2x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \\ x &\in \left(\frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{5\pi}{8} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Drugi izvod funkcije računamo za određivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.

f''(x) = 4 \left(-\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot 2 = -8\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)

Prevojne tačke su nule drugog izvoda, što se u ovom slučaju poklapa sa nulama funkcije.

P_k\left(-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, 0\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) kada je $f''(x) > 0 ,$ a konkavna ( $\cap$ ) kada je $f''(x) < 0 .$

\begin{aligned} f''(x) > 0 &\implies \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) < 0 \implies x \in \left(\frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{7\pi}{8} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \\ f''(x) < 0 &\implies \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) > 0 \implies x \in \left(-\frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{3\pi}{8} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

855