Grafik funkcije: sin x + √3 cos x

Da bismo olakšali ispitivanje funkcije, transformisaćemo je u oblik $f(x) = A \sin(x + \varphi) .$ Izvlačimo 2 ispred zagrade.

f(x) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira, znajući da je $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ i $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

f(x) = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

**1. Domen funkcije:** Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

**2. Parnost i periodičnost:** Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $T = 2\pi .$ Zbog toga ćemo funkciju ispitivati na intervalu $[0, 2\pi] .$

T = 2\pi

**3. Nule funkcije:** Rešavamo jednačinu $f(x) = 0 .$

2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na intervalu $[0, 2\pi] ,$ nule funkcije se dobijaju za $k = 1$ i $k = 2 .$

x_1 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{3}

**4. Znak funkcije:** Funkcija je pozitivna kada je $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) > 0 ,$ a negativna kada je $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) < 0 .$

\begin{aligned} f(x) > 0 &\text{ za } x \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right] \\ f(x) < 0 &\text{ za } x \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) \end{aligned}

**5. Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti:** Računamo prvi izvod funkcije.

f'(x) = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

Stacionarne tačke dobijamo rešavanjem jednačine $f'(x) = 0 .$

\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na intervalu $[0, 2\pi] ,$ stacionarne tačke su za $k = 0$ i $k = 1 .$

x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{6}

Ispitujemo znak prvog izvoda da bismo odredili intervale monotonosti na $[0, 2\pi] .$

\begin{aligned} f'(x) > 0 &\implies x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{6}, 2\pi\right] \quad (\text{funkcija raste}) \\ f'(x) < 0 &\implies x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \quad (\text{funkcija opada}) \end{aligned}

Na osnovu promene znaka prvog izvoda, određujemo ekstremne vrednosti.

\begin{aligned} M_{max} &= \left(\frac{\pi}{6}, 2\right) \\ M_{min} &= \left(\frac{7\pi}{6}, -2\right) \end{aligned}

**6. Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke:** Računamo drugi izvod funkcije.

f''(x) = -2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -f(x)

Prevojne tačke su tamo gde je $f''(x) = 0 ,$ što se poklapa sa nulama funkcije.

P_1\left(\frac{2\pi}{3}, 0\right), \quad P_2\left(\frac{5\pi}{3}, 0\right)

Znak drugog izvoda je suprotan znaku funkcije.

\begin{aligned} f''(x) > 0 &\implies x \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) \quad (\text{funkcija je konveksna, } \cup) \\ f''(x) < 0 &\implies x \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right] \quad (\text{funkcija je konkavna, } \cap) \end{aligned}

**7. Asimptote:** Funkcija je neprekidna na celom skupu realnih brojeva i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

**8. Grafik funkcije:** Grafik je sinusoida amplitude 2, pomerena ulevo duž x-ose za $\frac{\pi}{3} .$

Započni učenje

Online časovi

857

Beleške