Grafik funkcije: sin na četvrti x + cos na četvrti x

Pre početka ispitivanja toka, transformisaćemo funkciju u jednostavniji oblik korišćenjem trigonometrijskih identiteta.

f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Kako je $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ i $2\sin x \cos x = \sin 2x ,$ dobijamo:

f(x) = 1^2 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x

Primenom formule za polovinu ugla $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} ,$ funkcija postaje:

f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x

1. Domen funkcije Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

2. Parnost i periodičnost Proveravamo parnost funkcije:

f(-x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(-4x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = f(x)

Funkcija je parna. Određujemo osnovni period funkcije:

T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Zbog periodičnosti, dovoljno je ispitati funkciju na jednom periodu, na primer na intervalu $\left[0, \frac{\pi}{2}\right] .$

3. Nule i znak funkcije Pošto je $\cos 4x \ge -1$ za svako $x ,$ važi:

f(x) \ge \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(-1) = \frac{1}{2} > 0

Funkcija nema nule i uvek je pozitivna.

4. Asimptote Funkcija je neprekidna na celom skupu realnih brojeva i periodična je, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

5. Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti Računamo prvi izvod funkcije:

f'(x) = \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right)' = \frac{1}{4}(-\sin 4x) \cdot 4 = -\sin 4x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke:

-\sin 4x = 0 \implies 4x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na posmatranom intervalu $\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ,$ stacionarne tačke su $x = 0 ,$ $x = \frac{\pi}{4}$ i $x = \frac{\pi}{2} .$

Analiziramo znak prvog izvoda na intervalu $\left[0, \frac{\pi}{2}\right] :$ Za $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ je $4x \in (0, \pi) ,$ pa je $\sin 4x > 0$ i $f'(x) < 0$ (funkcija opada). Za $x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ je $4x \in (\pi, 2\pi) ,$ pa je $\sin 4x < 0$ i $f'(x) > 0$ (funkcija raste).

Funkcija dostiže lokalni minimum u tački $x = \frac{\pi}{4} :$

f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos \pi = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Funkcija dostiže lokalne maksimume u tačkama $x = 0$ i $x = \frac{\pi}{2} :$

f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 0 = 1

6. Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke Računamo drugi izvod funkcije:

f''(x) = (-\sin 4x)' = -4\cos 4x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom:

-4\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na intervalu $\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ,$ nule drugog izvoda su $x = \frac{\pi}{8}$ i $x = \frac{3\pi}{8} .$

Analiziramo znak drugog izvoda: Za $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ je $4x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ,$ pa je $\cos 4x > 0$ i $f''(x) < 0$ (funkcija je konkavna). Za $x \in \left(\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right)$ je $4x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) ,$ pa je $\cos 4x < 0$ i $f''(x) > 0$ (funkcija je konveksna). Za $x \in \left(\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right)$ je $4x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\right) ,$ pa je $\cos 4x > 0$ i $f''(x) < 0$ (funkcija je konkavna).

Prevojne tačke se nalaze u $x = \frac{\pi}{8}$ i $x = \frac{3\pi}{8} .$ Računamo vrednosti funkcije u tim tačkama:

f\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4}

Slično za drugu prevojnu tačku:

f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos \frac{3\pi}{2} = \frac{3}{4}

Prevojne tačke na posmatranom intervalu su $P_1\left(\frac{\pi}{8}, \frac{3}{4}\right)$ i $P_2\left(\frac{3\pi}{8}, \frac{3}{4}\right) .$

Započni učenje

Online časovi

859.b

Beleške