2755.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 837-845): f(x)=cosecx f(x) = \text{cosec} x ;

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo funkciju preko funkcije sinus, jer po definiciji važi:

f(x)=cosecx=1sin⁡xf(x) = \text{cosec} x = \frac{1}{\sin x}

Određujemo domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve osim onih za koje je imenilac jednak nuli.

sin⁡x≠0  ⟹  x≠kπ,k∈Z\sin x \neq 0 \implies x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo parnost funkcije računajući f(−x). f(-x) .

f(−x)=1sin⁡(−x)=1−sin⁡x=−1sin⁡x=−f(x)f(-x) = \frac{1}{\sin(-x)} = \frac{1}{-\sin x} = -\frac{1}{\sin x} = -f(x)

Pošto je f(−x)=−f(x), f(-x) = -f(x) , funkcija je neparna. Njen grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Ispitujemo periodičnost. S obzirom da je osnovni period funkcije sinus 2π, 2\pi , i naša funkcija je periodična sa istim osnovnim periodom.

T=2πT = 2\pi

Tražimo nule funkcije rešavajući jednačinu f(x)=0. f(x) = 0 .

1sin⁡x=0\frac{1}{\sin x} = 0

Kako brojilac nikada nije jednak nuli, funkcija nema nula i ne seče x-osu.

Određujemo znak funkcije. Znak zavisi isključivo od imenioca, odnosno od funkcije sinus.

f(x)>0 za sin⁡x>0  ⟹  x∈(2kπ,π+2kπ),k∈Zf(x) > 0 \text{ za } \sin x > 0 \implies x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Slično, funkcija je negativna kada je sinus negativan.

f(x)<0 za sin⁡x<0  ⟹  x∈(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Zf(x) < 0 \text{ za } \sin x < 0 \implies x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo vertikalne asimptote. Prekidi funkcije su u tačkama x=kπ. x = k\pi . Računamo levi i desni limes u ovim tačkama (na primer za x=0 x = 0 i x=π x = \pi ).

lim⁡x→0+1sin⁡x=+∞lim⁡x→0−1sin⁡x=−∞lim⁡x→π−1sin⁡x=+∞lim⁡x→π+1sin⁡x=−∞\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sin x} &= +\infty \\ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sin x} &= -\infty \\ \lim_{x \to \pi^-} \frac{1}{\sin x} &= +\infty \\ \lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\sin x} &= -\infty \end{aligned}

Prave x=kπ x = k\pi su vertikalne asimptote funkcije. Zbog periodičnosti, funkcija nema horizontalne ni kose asimptote.

Tražimo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i ekstremne vrednosti.

f′(x)=((sin⁡x)−1)′=−1⋅(sin⁡x)−2⋅cos⁡x=−cos⁡xsin⁡2xf'(x) = \left( (\sin x)^{-1} \right)' = -1 \cdot (\sin x)^{-2} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

−cos⁡xsin⁡2x=0  ⟹  cos⁡x=0  ⟹  x=π2+kπ,k∈Z-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Analiziramo znak prvog izvoda. Pošto je imenilac sin⁡2x>0 \sin^2 x > 0 za sve vrednosti iz domena, znak prvog izvoda zavisi od −cos⁡x. -\cos x .

f′(x)>0  ⟹  −cos⁡x>0  ⟹  cos⁡x<0f'(x) > 0 \implies -\cos x > 0 \implies \cos x < 0

Funkcija raste kada je kosinus negativan.

x∈(π2+2kπ,3π2+2kπ)∖{π+2kπ}x \in \left( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right) \setminus \{\pi + 2k\pi\}

Funkcija opada kada je kosinus pozitivan.

f′(x)<0  ⟹  cos⁡x>0  ⟹  x∈(−π2+2kπ,π2+2kπ)∖{2kπ}f'(x) < 0 \implies \cos x > 0 \implies x \in \left( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right) \setminus \{2k\pi\}

Određujemo ekstremne vrednosti. Za x=π2+2kπ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi prvi izvod menja znak iz minusa u plus, pa funkcija ima lokalne minimume.

f(π2+2kπ)=1sin⁡(π2)=1  ⟹  Tmin⁡(π2+2kπ,1)f\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 1 \implies T_{\min}\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, 1\right)

Za x=3π2+2kπ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi prvi izvod menja znak iz plusa u minus, pa funkcija ima lokalne maksimume.

f(3π2+2kπ)=1sin⁡(3π2)=−1  ⟹  Tmax⁡(3π2+2kπ,−1)f\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)} = -1 \implies T_{\max}\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, -1\right)

Računamo drugi izvod funkcije kako bismo ispitali konveksnost i prevojne tačke.

f′′(x)=(−cos⁡xsin⁡2x)′=−(cos⁡x)′sin⁡2x−cos⁡x(sin⁡2x)′sin⁡4xf''(x) = \left( -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \right)' = - \frac{(\cos x)' \sin^2 x - \cos x (\sin^2 x)'}{\sin^4 x}

Primenjujemo pravila za izvod i sređujemo izraz.

f′′(x)=−−sin⁡x⋅sin⁡2x−cos⁡x⋅2sin⁡xcos⁡xsin⁡4x=sin⁡3x+2sin⁡xcos⁡2xsin⁡4xf''(x) = - \frac{-\sin x \cdot \sin^2 x - \cos x \cdot 2\sin x \cos x}{\sin^4 x} = \frac{\sin^3 x + 2\sin x \cos^2 x}{\sin^4 x}

Skraćujemo sa sin⁡x \sin x i koristimo osnovni trigonometrijski identitet.

f′′(x)=sin⁡2x+2cos⁡2xsin⁡3x=1−cos⁡2x+2cos⁡2xsin⁡3x=1+cos⁡2xsin⁡3xf''(x) = \frac{\sin^2 x + 2\cos^2 x}{\sin^3 x} = \frac{1 - \cos^2 x + 2\cos^2 x}{\sin^3 x} = \frac{1 + \cos^2 x}{\sin^3 x}

Tražimo nule drugog izvoda. Kako je brojilac 1+cos⁡2x≥1, 1 + \cos^2 x \ge 1 , drugi izvod nikada nije jednak nuli, pa funkcija nema prevojnih tačaka.

1+cos⁡2x=0  ⟹  nema resˇenja1 + \cos^2 x = 0 \implies \text{nema rešenja}

Znak drugog izvoda zavisi isključivo od imenioca, odnosno od znaka funkcije sinus. Funkcija je konveksna (okrenuta na gore) kada je drugi izvod pozitivan.

f′′(x)>0  ⟹  sin⁡3x>0  ⟹  sin⁡x>0  ⟹  x∈(2kπ,π+2kπ)f''(x) > 0 \implies \sin^3 x > 0 \implies \sin x > 0 \implies x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi)

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole) kada je drugi izvod negativan.

f′′(x)<0  ⟹  sin⁡3x<0  ⟹  sin⁡x<0  ⟹  x∈(π+2kπ,2π+2kπ)f''(x) < 0 \implies \sin^3 x < 0 \implies \sin x < 0 \implies x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)

Na osnovu svih dobijenih podataka, može se nacrtati grafik funkcije. Grafik se sastoji od grana u obliku slova U i obrnutog U između vertikalnih asimptota.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti