852

Domen funkcije: Kosinusna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Osnovni period funkcije računamo po formuli $T = \frac{2\pi}{\omega} ,$ gde je koeficijent uz nepoznatu $\omega = \frac{1}{2} .$

Nule funkcije nalazimo rešavanjem jednačine $f(x) = 0 .$

Rešavamo dobijenu trigonometrijsku jednačinu:

Znak funkcije: Funkcija je pozitivna kada je $\cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) > 0 .$

Sređivanjem nejednakosti dobijamo intervale u kojima je funkcija pozitivna ($f(x) > 0$):

Funkcija je negativna ($f(x) < 0$) na preostalim intervalima unutar perioda:

Prvi izvod funkcije računamo primenom pravila za izvod složene funkcije:

Kandidati za ekstremne vrednosti se nalaze izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom:

Maksimumi funkcije se dostižu kada je $\cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = 1$ (tada je $f(x) = 2$):

Minimumi funkcije se dostižu kada je $\cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = -1$ (tada je $f(x) = -2$):

Monotonost: Funkcija raste kada je $f'(x) > 0 ,$ odnosno kada je $\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) < 0 :$

Funkcija opada kada je $f'(x) < 0 :$

Drugi izvod funkcije:

Prevojne tačke nalazimo izjednačavanjem drugog izvoda sa nulom. Primećujemo da je $f''(x) = -\frac{1}{4} f(x) ,$ pa su prevojne tačke iste kao i nule funkcije:

Konveksnost i konkavnost: Funkcija je konveksna (okrenuta na gore, $\cup$) kada je $f''(x) > 0 ,$ što znači da je $f(x) < 0 :$

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole, $\cap$) kada je $f''(x) < 0 ,$ što znači da je $f(x) > 0 :$