Grafik funkcije: −2 sin(x/2 + π/6)

Određujemo domen funkcije. Funkcija sinus je definisana za sve realne brojeve, pa nema ograničenja.

D_f = \mathbb{R}

Određujemo osnovni period funkcije. Za funkciju oblika $f(x) = A \sin(\omega x + \phi) ,$ osnovni period se računa po formuli $T = \frac{2\pi}{\omega} .$

T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi

Nule funkcije su tačke u kojima je vrednost funkcije jednaka nuli, odnosno rešenja jednačine $f(x) = 0 .$

-2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0

Rešavamo trigonometrijsku jednačinu. Sinus je jednak nuli za celobrojne umnoške broja $\pi .$

\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x$ kako bismo dobili nule funkcije.

\frac{x}{2} = k\pi - \frac{\pi}{6} \implies x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Presek sa y-osom dobijamo kada u funkciju uvrstimo $x = 0 .$

f(0) = -2 \sin \left( 0 + \frac{\pi}{6} \right) = -2 \sin \frac{\pi}{6} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1

Određujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna ( $f(x) > 0$ ).

-2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0

Sinus je negativan u trećem i četvrtom kvadrantu, odnosno između $\pi + 2k\pi$ i $2\pi + 2k\pi .$

\pi + 2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < 2\pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po $x .$

\pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi < \frac{x}{2} < 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \implies \frac{5\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{11\pi}{3} + 4k\pi

Određujemo intervale u kojima je funkcija negativna ( $f(x) < 0$ ).

-2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0

Sinus je pozitivan u prvom i drugom kvadrantu, odnosno između $2k\pi$ i $\pi + 2k\pi .$

2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po $x .$

2k\pi - \frac{\pi}{6} < \frac{x}{2} < \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{6} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{5\pi}{3} + 4k\pi

Računamo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i našli ekstremne vrednosti.

f'(x) = -2 \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)' = -2 \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{1}{2} = -\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)

Stacionarne tačke dobijamo izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom.

-\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \implies \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo jednačinu po $x .$

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + k\pi = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi

Maksimum funkcije se dostiže kada je $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = -1 ,$ tada je $f(x) = 2 .$

\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{x}{2} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{8\pi}{3} + 4k\pi

Minimum funkcije se dostiže kada je $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 1 ,$ tada je $f(x) = -2 .$

\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi

Funkcija raste kada je prvi izvod pozitivan ( $f'(x) > 0$ ).

-\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0 \implies \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0

Kosinus je negativan u drugom i trećem kvadrantu.

\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po $x .$

\frac{\pi}{3} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies \frac{2\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{8\pi}{3} + 4k\pi

Funkcija opada kada je prvi izvod negativan ( $f'(x) < 0$ ).

-\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0 \implies \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0

Kosinus je pozitivan u četvrtom i prvom kvadrantu.

-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po $x .$

-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies -\frac{4\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 4k\pi

Računamo drugi izvod funkcije kako bismo ispitali konveksnost i našli prevojne tačke.

f''(x) = (f'(x))' = \left( -\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \right)' = \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)

Prevojne tačke su nule drugog izvoda, što se u ovom slučaju poklapa sa nulama same funkcije.

f''(x) = 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \implies x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna ( $f''(x) > 0$ ) tamo gde je $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0 ,$ što znači da je konveksna tamo gde je funkcija negativna. Konkavna je tamo gde je funkcija pozitivna.

Na osnovu sprovedene analize (nule, ekstremi, monotonost, konveksnost i periodičnost), moguće je precizno nacrtati grafik funkcije.

Započni učenje

Online časovi

851

Beleške