2096.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

tg⁡2α1+tg⁡2α⋅1+ctg⁡2αctg⁡2α\frac{\tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} \cdot \frac{1 + \ctg^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izvesti identitet za izraz u imeniocu prvog razlomka. Znamo da je tg⁡α=sin⁡αcos⁡α \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} i da važi osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

1+tg⁡2α=1+sin⁡2αcos⁡2α=cos⁡2α+sin⁡2αcos⁡2α=1cos⁡2α1 + \tg^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Slično, izvodimo identitet za izraz u brojiocu drugog razlomka koristeći ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α. \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

1+ctg⁡2α=1+cos⁡2αsin⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡2α=1sin⁡2α1 + \ctg^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

Sada možemo zameniti dobijene identitete u početni izraz.

tg⁡2α1cos⁡2α⋅1sin⁡2αctg⁡2α\frac{\tg^2 \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} \cdot \frac{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\ctg^2 \alpha}

Sredimo dvojne razlomke. Deljenje izrazom je ekvivalentno množenju njegovom recipročnom vrednošću.

(tg⁡2α⋅cos⁡2α)⋅(1sin⁡2α⋅1ctg⁡2α)(\tg^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha) \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\ctg^2 \alpha}\right)

Zamenimo tg⁡α \tg \alpha preko sinusa i kosinusa. Takođe, koristimo osobinu da je 1ctg⁡2α=tg⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α \frac{1}{\ctg^2 \alpha} = \tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} kako bismo dodatno uprostili izraz.

(sin⁡2αcos⁡2α⋅cos⁡2α)⋅(1sin⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α)\left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha\right) \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)

Skratimo odgovarajuće članove u zagradama. U prvoj zagradi kratimo cos⁡2α, \cos^2 \alpha , a u drugoj sin⁡2α. \sin^2 \alpha .

sin⁡2α⋅1cos⁡2α\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Na kraju, prepoznajemo definiciju tangensa i dobijamo konačno rešenje.

sin⁡2αcos⁡2α=tg⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tg^2 \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti