Uprošćavanje izraza sa 1 + tg kvadrat i 1 + ctg kvadrat

Prvo ćemo izvesti identitet za izraz u imeniocu prvog razlomka. Znamo da je $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ i da važi osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

1 + \tg^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Slično, izvodimo identitet za izraz u brojiocu drugog razlomka koristeći $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .$

1 + \ctg^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

Sada možemo zameniti dobijene identitete u početni izraz.

\frac{\tg^2 \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} \cdot \frac{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\ctg^2 \alpha}

Sredimo dvojne razlomke. Deljenje izrazom je ekvivalentno množenju njegovom recipročnom vrednošću.

(\tg^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha) \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\ctg^2 \alpha}\right)

Zamenimo $\tg \alpha$ preko sinusa i kosinusa. Takođe, koristimo osobinu da je $\frac{1}{\ctg^2 \alpha} = \tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ kako bismo dodatno uprostili izraz.

\left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha\right) \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)

Skratimo odgovarajuće članove u zagradama. U prvoj zagradi kratimo $\cos^2 \alpha ,$ a u drugoj $\sin^2 \alpha .$

\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Na kraju, prepoznajemo definiciju tangensa i dobijamo konačno rešenje.

\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tg^2 \alpha

Započni učenje

Privatni časovi

627

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci