Uprošćavanje izraza sa sin na 6 x i cos na 6 x

Prva dva člana izraza možemo zapisati kao zbir kubova. Posmatraćemo ih kao kubove kvadrata trigonometrijskih funkcija:

\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3

Podsetimo se algebarskog identiteta za zbir kubova. On se može lako izvesti iz formule za kub binoma $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ grupisanjem članova:

a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)

Primenjujemo ovaj identitet na naš izraz, uzimajući da je $a = \sin^2 x$ i $b = \cos^2 x :$

(\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\sin^2 x \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)

Znamo da važi osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Zamenjujemo vrednost $1$ u izraz dobijen u prethodnom koraku:

\sin^6 x + \cos^6 x = 1^3 - 3\sin^2 x \cos^2 x \cdot 1 = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Sada vraćamo ovaj pojednostavljeni oblik u početni izraz zadatka:

(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x) + 3 \sin^2 x \cos^2 x

Kada se skrate suprotni članovi $-3\sin^2 x \cos^2 x$ i $3\sin^2 x \cos^2 x ,$ dobijamo konačan rezultat:

1

Započni učenje

Privatni časovi

626.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci