2558.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡6x+cos⁡6x=1−34sin⁡22x\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

sin⁡6x+cos⁡6x\sin^6 x + \cos^6 x

Zapisujemo izraze kao kubove da bismo mogli da primenimo odgovarajuću formulu:

(sin⁡2x)3+(cos⁡2x)3(\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3

Primenjujemo formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2), a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) , gde je a=sin⁡2x a = \sin^2 x i b=cos⁡2x: b = \cos^2 x :

(sin⁡2x+cos⁡2x)((sin⁡2x)2−sin⁡2xcos⁡2x+(cos⁡2x)2)(\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 :

1⋅(sin⁡4x−sin⁡2xcos⁡2x+cos⁡4x)1 \cdot (\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)

Da bismo izraz sin⁡4x+cos⁡4x \sin^4 x + \cos^4 x sveli na kvadrat binoma, dodajemo i oduzimamo 2sin⁡2xcos⁡2x: 2\sin^2 x \cos^2 x :

(sin⁡4x+2sin⁡2xcos⁡2x+cos⁡4x)−2sin⁡2xcos⁡2x−sin⁡2xcos⁡2x(\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x

Zapisujemo prvi deo izraza kao kvadrat binoma i grupišemo preostale članove:

(sin⁡2x+cos⁡2x)2−3sin⁡2xcos⁡2x(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 :

12−3sin⁡2xcos⁡2x=1−3sin⁡2xcos⁡2x1^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2\sin x \cos x . Kvadriranjem ove formule dobijamo sin⁡22x=4sin⁡2xcos⁡2x, \sin^2 2x = 4\sin^2 x \cos^2 x , odakle sledi da je sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡22x4: \sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} :

1−3⋅sin⁡22x41 - 3 \cdot \frac{\sin^2 2x}{4}

Množenjem dobijamo izraz na desnoj strani, čime je identitet uspešno dokazan:

1−34sin⁡22x1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti