Kosinus trostrukog ugla: proizvod kosinusa sa 60°

Polazimo od leve strane identiteta. Primenjujemo adicione formule za kosinus zbira i razlike uglova.

\begin{aligned} \cos(60^\circ - \alpha) &= \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha \\ \cos(60^\circ + \alpha) &= \cos 60^\circ \cos \alpha - \sin 60^\circ \sin \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao od $60^\circ .$

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Uvrštavamo ove vrednosti u polazni izraz.

\cos \alpha \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)

Prepoznajemo razliku kvadrata u proizvodu druge dve zagrade i množimo ih.

\cos \alpha \left( \left(\frac{1}{2} \cos \alpha\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right)^2 \right) = \cos \alpha \left( \frac{1}{4} \cos^2 \alpha - \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \right)

Množimo izraz u zagradi sa $\cos \alpha .$

\frac{1}{4} \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \cos \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ kako bismo izraz sveli samo na kosinus.

\frac{1}{4} \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} (1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha

Oslobađamo se zagrade i sređujemo dobijeni izraz.

\frac{1}{4} \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} \cos \alpha + \frac{3}{4} \cos^3 \alpha = \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} \cos \alpha

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{4}$ ispred zagrade.

\frac{1}{4} (4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha)

Prepoznajemo formulu za kosinus trostrukog ugla $\cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha .$

\frac{1}{4} \cos 3\alpha

Dobili smo desnu stranu, čime je identitet uspešno dokazan.

\cos \alpha \cos(60^\circ - \alpha) \cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \cos 3\alpha

720.b