2557.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: cos⁡αcos⁡(60∘−α)cos⁡(60∘+α)=14cos⁡3α. \cos \alpha \cos(60^\circ - \alpha) \cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \cos 3\alpha .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Primenjujemo adicione formule za kosinus zbira i razlike uglova.

cos⁡(60∘−α)=cos⁡60∘cos⁡α+sin⁡60∘sin⁡αcos⁡(60∘+α)=cos⁡60∘cos⁡α−sin⁡60∘sin⁡α\begin{aligned} \cos(60^\circ - \alpha) &= \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha \\ \cos(60^\circ + \alpha) &= \cos 60^\circ \cos \alpha - \sin 60^\circ \sin \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao od 60∘. 60^\circ .

cos⁡60∘=12,sin⁡60∘=32\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Uvrštavamo ove vrednosti u polazni izraz.

cos⁡α(12cos⁡α+32sin⁡α)(12cos⁡α−32sin⁡α)\cos \alpha \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)

Prepoznajemo razliku kvadrata u proizvodu druge dve zagrade i množimo ih.

cos⁡α((12cos⁡α)2−(32sin⁡α)2)=cos⁡α(14cos⁡2α−34sin⁡2α)\cos \alpha \left( \left(\frac{1}{2} \cos \alpha\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right)^2 \right) = \cos \alpha \left( \frac{1}{4} \cos^2 \alpha - \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \right)

Množimo izraz u zagradi sa cos⁡α. \cos \alpha .

14cos⁡3α−34sin⁡2αcos⁡α\frac{1}{4} \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \cos \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α=1−cos⁡2α \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha kako bismo izraz sveli samo na kosinus.

14cos⁡3α−34(1−cos⁡2α)cos⁡α\frac{1}{4} \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} (1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha

Oslobađamo se zagrade i sređujemo dobijeni izraz.

14cos⁡3α−34cos⁡α+34cos⁡3α=cos⁡3α−34cos⁡α\frac{1}{4} \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} \cos \alpha + \frac{3}{4} \cos^3 \alpha = \cos^3 \alpha - \frac{3}{4} \cos \alpha

Izvlačimo zajednički faktor 14 \frac{1}{4} ispred zagrade.

14(4cos⁡3α−3cos⁡α)\frac{1}{4} (4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha)

Prepoznajemo formulu za kosinus trostrukog ugla cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α. \cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha .

14cos⁡3α\frac{1}{4} \cos 3\alpha

Dobili smo desnu stranu, čime je identitet uspešno dokazan.

cos⁡αcos⁡(60∘−α)cos⁡(60∘+α)=14cos⁡3α\cos \alpha \cos(60^\circ - \alpha) \cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \cos 3\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti