2556.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: sin⁡αsin⁡(60∘−α)sin⁡(60∘+α)=14sin⁡3α \sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \sin 3\alpha

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

sin⁡αsin⁡(60∘−α)sin⁡(60∘+α)\sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha)

Primenjujemo adicione formule za sinus na drugi i treći činilac:

sin⁡α(sin⁡60∘cos⁡α−cos⁡60∘sin⁡α)(sin⁡60∘cos⁡α+cos⁡60∘sin⁡α)\sin \alpha (\sin 60^\circ \cos \alpha - \cos 60^\circ \sin \alpha)(\sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha)

Prepoznajemo razliku kvadrata u zagradama:

sin⁡α(sin⁡260∘cos⁡2α−cos⁡260∘sin⁡2α)\sin \alpha (\sin^2 60^\circ \cos^2 \alpha - \cos^2 60^\circ \sin^2 \alpha)

Zamenjujemo poznate vrednosti za sinus i kosinus od 60∘ 60^\circ (sin⁡60∘=32, \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} , cos⁡60∘=12 \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ):

sin⁡α((32)2cos⁡2α−(12)2sin⁡2α)=sin⁡α(34cos⁡2α−14sin⁡2α)\sin \alpha \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cos^2 \alpha - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^2 \alpha \right) = \sin \alpha \left( \frac{3}{4} \cos^2 \alpha - \frac{1}{4} \sin^2 \alpha \right)

Izvlačimo zajednički faktor 14 \frac{1}{4} ispred zagrade:

14sin⁡α(3cos⁡2α−sin⁡2α)\frac{1}{4} \sin \alpha (3 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Izražavamo cos⁡2α \cos^2 \alpha preko sin⁡2α \sin^2 \alpha koristeći osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α=1−sin⁡2α: \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha :

14sin⁡α(3(1−sin⁡2α)−sin⁡2α)\frac{1}{4} \sin \alpha (3(1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha)

Sređujemo izraz unutar zagrade:

14sin⁡α(3−3sin⁡2α−sin⁡2α)=14sin⁡α(3−4sin⁡2α)\frac{1}{4} \sin \alpha (3 - 3\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \frac{1}{4} \sin \alpha (3 - 4\sin^2 \alpha)

Množimo izraz u zagradi sa sin⁡α: \sin \alpha :

14(3sin⁡α−4sin⁡3α)\frac{1}{4} (3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha)

Prepoznajemo formulu za sinus trostrukog ugla sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α: \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha :

14sin⁡3α\frac{1}{4} \sin 3\alpha

Ovim je identitet dokazan.

sin⁡αsin⁡(60∘−α)sin⁡(60∘+α)=14sin⁡3α\sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \sin 3\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti