2556. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Polazimo od leve strane identiteta:

\sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha)

Primenjujemo adicione formule za sinus na drugi i treći činilac:

\sin \alpha (\sin 60^\circ \cos \alpha - \cos 60^\circ \sin \alpha)(\sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha)

Prepoznajemo razliku kvadrata u zagradama:

\sin \alpha (\sin^2 60^\circ \cos^2 \alpha - \cos^2 60^\circ \sin^2 \alpha)

Zamenjujemo poznate vrednosti za sinus i kosinus od $60^\circ$ ( $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ,$ $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ ):

\sin \alpha \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cos^2 \alpha - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^2 \alpha \right) = \sin \alpha \left( \frac{3}{4} \cos^2 \alpha - \frac{1}{4} \sin^2 \alpha \right)

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{4}$ ispred zagrade:

\frac{1}{4} \sin \alpha (3 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Izražavamo $\cos^2 \alpha$ preko $\sin^2 \alpha$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha :$

\frac{1}{4} \sin \alpha (3(1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha)

Sređujemo izraz unutar zagrade:

\frac{1}{4} \sin \alpha (3 - 3\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \frac{1}{4} \sin \alpha (3 - 4\sin^2 \alpha)

Množimo izraz u zagradi sa $\sin \alpha :$

\frac{1}{4} (3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha)

Prepoznajemo formulu za sinus trostrukog ugla $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha :$

\frac{1}{4} \sin 3\alpha

Ovim je identitet dokazan.

\sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \sin 3\alpha

720.a