2574. Trigonometrijske funkcije poluugla

Krenućemo od desne strane identiteta i transformisati je koristeći osnovne trigonometrijske identitete kako bismo dobili levu stranu.

D = \frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}

Zamenimo funkciju tangensa odnosom sinusa i kosinusa: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} .$

D = \frac{2 \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1 + \left( \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \right)^2}

Sredimo izraz u imenilacu kvadriranjem i sabiranjem razlomaka.

D = \frac{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} = \frac{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Primenimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ na brojilac u imenilacu glavnog razlomka.

D = \frac{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Rešimo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

D = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot 1}

Skratimo izraz sa $\cos \frac{\alpha}{2} ,$ uz uslov $\alpha \neq \pi(2k+1)$ koji obezbeđuje da je $\cos \frac{\alpha}{2} \neq 0 .$

D = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x ,$ gde je u našem slučaju $x = \frac{\alpha}{2} .$

D = \sin \left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right) = \sin \alpha

Dobijena vrednost odgovara levoj strani identiteta, čime je dokaz završen.

\sin \alpha = \sin \alpha

724.a