2570. Trigonometrijske funkcije poluugla

Počinjemo od desne strane izraza i koristimo definiciju tangensa preko sinusa i kosinusa:

\frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Svodimo brojilac i imenilac na zajednički imenilac $\cos^2 \frac{\alpha}{2} :$

\frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca $\cos^2 \frac{\alpha}{2}$ u dvojnom razlomku, dobijamo:

\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ u imeniocu i formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ u brojiocu, gde je $x = \frac{\alpha}{2} :$

\frac{\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}{1} = \cos \alpha

Ovim je dokazano da je desna strana jednaka levoj strani identiteta:

\cos \alpha = \cos \alpha

724.b