2570.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: cos⁡α=1−tg2α21+tg2α2, \cos \alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} , za α≠π(2k+1), \alpha \neq \pi(2k + 1) , k∈Z. k \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od desne strane izraza i koristimo definiciju tangensa preko sinusa i kosinusa:

1−tg2α21+tg2α2=1−sin⁡2α2cos⁡2α21+sin⁡2α2cos⁡2α2\frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Svodimo brojilac i imenilac na zajednički imenilac cos⁡2α2: \cos^2 \frac{\alpha}{2} :

cos⁡2α2−sin⁡2α2cos⁡2α2cos⁡2α2+sin⁡2α2cos⁡2α2\frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca cos⁡2α2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} u dvojnom razlomku, dobijamo:

cos⁡2α2−sin⁡2α2cos⁡2α2+sin⁡2α2\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 u imeniocu i formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x u brojiocu, gde je x=α2: x = \frac{\alpha}{2} :

cos⁡(2⋅α2)1=cos⁡α\frac{\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}{1} = \cos \alpha

Ovim je dokazano da je desna strana jednaka levoj strani identiteta:

cos⁡α=cos⁡α\cos \alpha = \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti