2569.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: ctgα=1−tg2α22tgα2, \text{ctg} \alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}} , za α≠πk, \alpha \neq \pi k , k∈Z. k \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Poći ćemo od desne strane izraza i transformisati je koristeći osnovne trigonometrijske identitete. Desna strana glasi:

D=1−tg2α22tgα2D = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Znamo da je tangens definisan kao količnik sinusa i kosinusa:

tgα2=sin⁡α2cos⁡α2\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Zamenimo ovaj izraz u brojilac i imenilac desne strane:

D=1−sin⁡2α2cos⁡2α22sin⁡α2cos⁡α2D = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{2 \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}

Svedimo brojilac na zajednički imenilac:

D=cos⁡2α2−sin⁡2α2cos⁡2α22sin⁡α2cos⁡α2D = \frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}

Sredimo dvojni razlomak skraćivanjem jednog faktora cos⁡α2: \cos \frac{\alpha}{2} :

D=cos⁡2α2−sin⁡2α22sin⁡α2cos⁡α2D = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}

Primenimo adicione formule za dvostruki ugao, gde je cos⁡2α2−sin⁡2α2=cos⁡α \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha i 2sin⁡α2cos⁡α2=sin⁡α: 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha :

D=cos⁡αsin⁡αD = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Kako je količnik kosinusa i sinusa jednak kotangensu, dobijamo:

D=ctgαD = \text{ctg} \alpha

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj:

ctgα=1−tg2α22tgα2\text{ctg} \alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti