2569. Trigonometrijske funkcije poluugla

Poći ćemo od desne strane izraza i transformisati je koristeći osnovne trigonometrijske identitete. Desna strana glasi:

D = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Znamo da je tangens definisan kao količnik sinusa i kosinusa:

\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Zamenimo ovaj izraz u brojilac i imenilac desne strane:

D = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{2 \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}

Svedimo brojilac na zajednički imenilac:

D = \frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}

Sredimo dvojni razlomak skraćivanjem jednog faktora $\cos \frac{\alpha}{2} :$

D = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}

Primenimo adicione formule za dvostruki ugao, gde je $\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha$ i $2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha :$

D = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Kako je količnik kosinusa i sinusa jednak kotangensu, dobijamo:

D = \text{ctg} \alpha

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj:

\text{ctg} \alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

724.g