2568. Trigonometrijske funkcije poluugla

Da bismo izračunali $\sin \frac{\alpha}{2} ,$ prvo moramo odrediti vrednost $\cos \alpha .$ Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenom date vrednosti za $\sin \alpha$ dobijamo:

\left(-\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{16 \cdot 2}{81} + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{32}{81} + \cos^2 \alpha = 1

Računamo $\cos^2 \alpha :$

\cos^2 \alpha = 1 - \frac{32}{81} \\ \cos^2 \alpha = \frac{81 - 32}{81} \\ \cos^2 \alpha = \frac{49}{81}

Pošto se ugao $\alpha$ nalazi u trećem kvadrantu $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) ,$ kosinus je negativan:

\cos \alpha = -\sqrt{\frac{49}{81}} = -\frac{7}{9}

Sada koristimo formulu za polovinu ugla:

\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}

Definišemo apsolutnu vrednost:

\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Određujemo znak $\sin \frac{\alpha}{2} .$ Kako je $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ,$ deljenjem sa 2 dobijamo:

\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}

Ugao $\frac{\alpha}{2}$ pripada drugom kvadrantu, gde je sinus pozitivan, pa je:

\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}

Zamenjujemo vrednost $\cos \alpha = -\frac{7}{9}$ u formulu:

\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{7}{9})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{9}}{2}} \\ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{\frac{16}{9}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{18}}

Sređujemo dobijeni izraz i izvlačimo faktore:

\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

729