2568.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Ako je sin⁡α=−429 \sin \alpha = -\frac{4\sqrt{2}}{9} i α∈(π,3π2), \alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) , odrediti sin⁡α2. \sin \frac{\alpha}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo izračunali sin⁡α2, \sin \frac{\alpha}{2} , prvo moramo odrediti vrednost cos⁡α. \cos \alpha . Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenom date vrednosti za sin⁡α \sin \alpha dobijamo:

(−429)2+cos⁡2α=116⋅281+cos⁡2α=13281+cos⁡2α=1\left(-\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{16 \cdot 2}{81} + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{32}{81} + \cos^2 \alpha = 1

Računamo cos⁡2α: \cos^2 \alpha :

cos⁡2α=1−3281cos⁡2α=81−3281cos⁡2α=4981\cos^2 \alpha = 1 - \frac{32}{81} \\ \cos^2 \alpha = \frac{81 - 32}{81} \\ \cos^2 \alpha = \frac{49}{81}

Pošto se ugao α \alpha nalazi u trećem kvadrantu (π,3π2), \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) , kosinus je negativan:

cos⁡α=−4981=−79\cos \alpha = -\sqrt{\frac{49}{81}} = -\frac{7}{9}

Sada koristimo formulu za polovinu ugla:

∣sin⁡α2∣=1−cos⁡α2\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}

Definišemo apsolutnu vrednost:

∣sin⁡α2∣={sin⁡α2,za sin⁡α2≥0−sin⁡α2,za sin⁡α2<0\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Određujemo znak sin⁡α2. \sin \frac{\alpha}{2} . Kako je π<α<3π2, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} , deljenjem sa 2 dobijamo:

π2<α2<3π4\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}

Ugao α2 \frac{\alpha}{2} pripada drugom kvadrantu, gde je sinus pozitivan, pa je:

sin⁡α2=1−cos⁡α2\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}

Zamenjujemo vrednost cos⁡α=−79 \cos \alpha = -\frac{7}{9} u formulu:

sin⁡α2=1−(−79)2=1+792sin⁡α2=1692=1618\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{7}{9})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{9}}{2}} \\ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{\frac{16}{9}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{18}}

Sređujemo dobijeni izraz i izvlačimo faktore:

sin⁡α2=89=4⋅23=223\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti