2576. Trigonometrijske funkcije poluugla

Primetimo da je ugao $7^\circ 30'$ polovina ugla od $15^\circ ,$ a ugao od $15^\circ$ je polovina ugla od $30^\circ .$ Koristićemo formulu za tangens polovine ugla:

|\text{tg} \frac{\alpha}{2}| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

Kako ugao $7^\circ 30'$ pripada prvom kvadrantu, tangens je pozitivan, pa definišemo apsolutnu vrednost:

|\text{tg} 7^\circ 30'| = \begin{cases} \text{tg} 7^\circ 30', & \text{za } \text{tg} 7^\circ 30' \ge 0 \\ -\text{tg} 7^\circ 30', & \text{za } \text{tg} 7^\circ 30' < 0 \end{cases}

Prvo računamo $\cos 15^\circ$ koristeći formulu za kosinus polovine ugla $30^\circ .$ Budući da je $15^\circ$ u prvom kvadrantu, kosinus je pozitivan:

\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

Da bismo pojednostavili izraz, koristimo transformaciju dvostrukog korena $\sqrt{a + \sqrt{b}} .$ Znamo da je $2 + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} :$

\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Sada računamo $\text{tg} 7^\circ 30'$ koristeći vrednost $\cos 15^\circ :$

\text{tg} 7^\circ 30' = \sqrt{\frac{1 - \cos 15^\circ}{1 + \cos 15^\circ}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}} = \sqrt{\frac{4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})}}

Racionališemo izraz pod korenom množenjem brojioca i imenioca sa konjugovanom vrednošću imenioca $4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) :$

\text{tg} 7^\circ 30' = \sqrt{\frac{(4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2}))^2}{16 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} = \frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{16 - (6 + 2 + 2\sqrt{12})}}

Sređujemo imenilac:

\sqrt{16 - (8 + 4\sqrt{3})} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{4(2 - \sqrt{3})} = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}

Koristimo identitet $\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$ (dobijen iz $\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$ ):

2\sqrt{2 - \sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{6} - \sqrt{2}

Konačno, uvrštavamo nazad u izraz za tangens:

\text{tg} 7^\circ 30' = \frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}

Racionališemo poslednji izraz množenjem sa $\sqrt{6} + \sqrt{2} :$

\text{tg} 7^\circ 30' = \frac{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - 6 - \sqrt{12} - \sqrt{12} - 2}{4}

Sređujemo brojilac i izvlačimo zajedničke faktore:

\text{tg} 7^\circ 30' = \frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - 8 - 4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 - \sqrt{3}

Grupisanjem članova dobijamo konačan rezultat:

\text{tg} 7^\circ 30' = (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)

728