2576.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Izračunati bez upotrebe računskih pomagala tg7∘30′. \text{tg} 7^\circ 30' .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je ugao 7∘30′ 7^\circ 30' polovina ugla od 15∘, 15^\circ , a ugao od 15∘ 15^\circ je polovina ugla od 30∘. 30^\circ . Koristićemo formulu za tangens polovine ugla:

∣tgα2∣=1−cos⁡α1+cos⁡α|\text{tg} \frac{\alpha}{2}| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

Kako ugao 7∘30′ 7^\circ 30' pripada prvom kvadrantu, tangens je pozitivan, pa definišemo apsolutnu vrednost:

∣tg7∘30′∣={tg7∘30′,za tg7∘30′≥0−tg7∘30′,za tg7∘30′<0|\text{tg} 7^\circ 30'| = \begin{cases} \text{tg} 7^\circ 30', & \text{za } \text{tg} 7^\circ 30' \ge 0 \\ -\text{tg} 7^\circ 30', & \text{za } \text{tg} 7^\circ 30' < 0 \end{cases}

Prvo računamo cos⁡15∘ \cos 15^\circ koristeći formulu za kosinus polovine ugla 30∘. 30^\circ . Budući da je 15∘ 15^\circ u prvom kvadrantu, kosinus je pozitivan:

cos⁡15∘=1+cos⁡30∘2=1+322=2+34=2+32\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

Da bismo pojednostavili izraz, koristimo transformaciju dvostrukog korena a+b. \sqrt{a + \sqrt{b}} . Znamo da je 2+3=4+232=(3+1)22: 2 + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} :

cos⁡15∘=(3+1)222=3+122=6+24\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Sada računamo tg7∘30′ \text{tg} 7^\circ 30' koristeći vrednost cos⁡15∘: \cos 15^\circ :

tg7∘30′=1−cos⁡15∘1+cos⁡15∘=1−6+241+6+24=4−(6+2)4+(6+2)\text{tg} 7^\circ 30' = \sqrt{\frac{1 - \cos 15^\circ}{1 + \cos 15^\circ}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}} = \sqrt{\frac{4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})}}

Racionališemo izraz pod korenom množenjem brojioca i imenioca sa konjugovanom vrednošću imenioca 4−(6+2): 4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) :

tg7∘30′=(4−(6+2))216−(6+2)2=4−6−216−(6+2+212)\text{tg} 7^\circ 30' = \sqrt{\frac{(4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2}))^2}{16 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} = \frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{16 - (6 + 2 + 2\sqrt{12})}}

Sređujemo imenilac:

16−(8+43)=8−43=4(2−3)=22−3\sqrt{16 - (8 + 4\sqrt{3})} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{4(2 - \sqrt{3})} = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}

Koristimo identitet 2−3=3−12 \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} (dobijen iz 4−232 \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} ):

22−3=2⋅3−12=2(3−1)=6−22\sqrt{2 - \sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{6} - \sqrt{2}

Konačno, uvrštavamo nazad u izraz za tangens:

tg7∘30′=4−6−26−2\text{tg} 7^\circ 30' = \frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}

Racionališemo poslednji izraz množenjem sa 6+2: \sqrt{6} + \sqrt{2} :

tg7∘30′=(4−6−2)(6+2)6−2=46+42−6−12−12−24\text{tg} 7^\circ 30' = \frac{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - 6 - \sqrt{12} - \sqrt{12} - 2}{4}

Sređujemo brojilac i izvlačimo zajedničke faktore:

tg7∘30′=46+42−8−434=6+2−2−3\text{tg} 7^\circ 30' = \frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - 8 - 4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 - \sqrt{3}

Grupisanjem članova dobijamo konačan rezultat:

tg7∘30′=(3−2)(2−1)\text{tg} 7^\circ 30' = (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti