2585. Trigonometrijske funkcije poluugla

Primetimo da je $\frac{\pi}{8}$ polovina ugla $\frac{\pi}{4} .$ Koristićemo formule za polovinu ugla gde je $\alpha = \frac{\pi}{4} .$ Kako se ugao nalazi u prvom kvadrantu, sve trigonometrijske funkcije će biti pozitivne.

\alpha = \frac{\pi}{4} \implies \cos \alpha = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost za sinus polovine ugla. Pošto je $\frac{\pi}{8} \in (0, \frac{\pi}{2}) ,$ sinus je pozitivan.

| \sin \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \sin \frac{\pi}{8}, & \text{za } \sin \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\sin \frac{\pi}{8}, & \text{za } \sin \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost $\sin \frac{\pi}{8}$ koristeći formulu $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} .$

\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost za kosinus polovine ugla. Pošto je $\frac{\pi}{8}$ u prvom kvadrantu, kosinus je pozitivan.

| \cos \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \cos \frac{\pi}{8}, & \text{za } \cos \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\cos \frac{\pi}{8}, & \text{za } \cos \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost $\cos \frac{\pi}{8}$ koristeći formulu $\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} .$

\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost za tangens polovine ugla.

| \text{tg} \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost $\text{tg} \frac{\pi}{8}$ koristeći odnos sinusa i kosinusa ili direktnu formulu.

\text{tg} \frac{\pi}{8} = \frac{\sin \frac{\pi}{8}}{\cos \frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{4 - 2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1

Definišemo apsolutnu vrednost za kotangens polovine ugla.

| \text{ctg} \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \text{ctg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{ctg} \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\text{ctg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{ctg} \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost $\text{ctg} \frac{\pi}{8}$ kao recipročnu vrednost tangensa.

\text{ctg} \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1

727