2585.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednosti trigonometrijskih funkcija od π8. \frac{\pi}{8} .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je π8 \frac{\pi}{8} polovina ugla π4. \frac{\pi}{4} . Koristićemo formule za polovinu ugla gde je α=π4. \alpha = \frac{\pi}{4} . Kako se ugao nalazi u prvom kvadrantu, sve trigonometrijske funkcije će biti pozitivne.

α=π4  ⟹  cos⁡α=cos⁡π4=22\alpha = \frac{\pi}{4} \implies \cos \alpha = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost za sinus polovine ugla. Pošto je π8∈(0,π2), \frac{\pi}{8} \in (0, \frac{\pi}{2}) , sinus je pozitivan.

∣sin⁡π8∣={sin⁡π8,za sin⁡π8≥0−sin⁡π8,za sin⁡π8<0| \sin \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \sin \frac{\pi}{8}, & \text{za } \sin \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\sin \frac{\pi}{8}, & \text{za } \sin \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost sin⁡π8 \sin \frac{\pi}{8} koristeći formulu sin⁡α2=1−cos⁡α2. \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} .

sin⁡π8=1−222=2−222=2−24=2−22\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost za kosinus polovine ugla. Pošto je π8 \frac{\pi}{8} u prvom kvadrantu, kosinus je pozitivan.

∣cos⁡π8∣={cos⁡π8,za cos⁡π8≥0−cos⁡π8,za cos⁡π8<0| \cos \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \cos \frac{\pi}{8}, & \text{za } \cos \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\cos \frac{\pi}{8}, & \text{za } \cos \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost cos⁡π8 \cos \frac{\pi}{8} koristeći formulu cos⁡α2=1+cos⁡α2. \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} .

cos⁡π8=1+222=2+222=2+24=2+22\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost za tangens polovine ugla.

∣tgπ8∣={tgπ8,za tgπ8≥0−tgπ8,za tgπ8<0| \text{tg} \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost tgπ8 \text{tg} \frac{\pi}{8} koristeći odnos sinusa i kosinusa ili direktnu formulu.

tgπ8=sin⁡π8cos⁡π8=2−22+2=2−22+2⋅2−22−2=(2−2)24−2=2−22=2−1\text{tg} \frac{\pi}{8} = \frac{\sin \frac{\pi}{8}}{\cos \frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{4 - 2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1

Definišemo apsolutnu vrednost za kotangens polovine ugla.

∣ctgπ8∣={ctgπ8,za ctgπ8≥0−ctgπ8,za ctgπ8<0| \text{ctg} \frac{\pi}{8} | = \begin{cases} \text{ctg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{ctg} \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\text{ctg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{ctg} \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost ctgπ8 \text{ctg} \frac{\pi}{8} kao recipročnu vrednost tangensa.

ctgπ8=1tgπ8=12−1=12−1⋅2+12+1=2+12−1=2+1\text{ctg} \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti