2586.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Naći bez upotrebe računskih pomagala: tg15∘. \text{tg} 15^\circ .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je ugao od 15∘ 15^\circ polovina ugla od 30∘. 30^\circ . Koristićemo formulu za tangens polovine ugla:

∣tgα2∣=1−cos⁡α1+cos⁡α| \text{tg} \frac{\alpha}{2} | = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

U našem slučaju je α=30∘. \alpha = 30^\circ . Kako se ugao od 15∘ 15^\circ nalazi u prvom kvadrantu, tangens tog ugla je pozitivan, pa definišemo apsolutnu vrednost:

∣tg15∘∣={tg15∘,za tg15∘≥0−tg15∘,za tg15∘<0| \text{tg} 15^\circ | = \begin{cases} \text{tg} 15^\circ, & \text{za } \text{tg} 15^\circ \ge 0 \\ -\text{tg} 15^\circ, & \text{za } \text{tg} 15^\circ < 0 \end{cases}

Pošto je 15∘∈(0,90∘), 15^\circ \in (0, 90^\circ) , sledi tg15∘>0. \text{tg} 15^\circ > 0 . Zamenjujemo vrednost cos⁡30∘=32 \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} u formulu:

tg15∘=1−cos⁡30∘1+cos⁡30∘=1−321+32\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{1 + \cos 30^\circ}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}}

Sređujemo dvojni razlomak unutar korena:

tg15∘=2−322+32=2−32+3\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}

Vršimo racionalizaciju izraza pod korenom množenjem brojioca i imenioca sa 2−3: 2 - \sqrt{3} :

tg15∘=2−32+3⋅2−32−3=(2−3)222−(3)2\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}}

Računamo vrednost u imeniocu i uprošćavamo koren:

tg15∘=(2−3)24−3=(2−3)2\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}

Kako je 2>3, 2 > \sqrt{3} , izraz 2−3 2 - \sqrt{3} je pozitivan, pa je konačan rezultat:

tg15∘=2−3\text{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti