2586. Trigonometrijske funkcije poluugla

Primetimo da je ugao od $15^\circ$ polovina ugla od $30^\circ .$ Koristićemo formulu za tangens polovine ugla:

| \text{tg} \frac{\alpha}{2} | = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

U našem slučaju je $\alpha = 30^\circ .$ Kako se ugao od $15^\circ$ nalazi u prvom kvadrantu, tangens tog ugla je pozitivan, pa definišemo apsolutnu vrednost:

| \text{tg} 15^\circ | = \begin{cases} \text{tg} 15^\circ, & \text{za } \text{tg} 15^\circ \ge 0 \\ -\text{tg} 15^\circ, & \text{za } \text{tg} 15^\circ < 0 \end{cases}

Pošto je $15^\circ \in (0, 90^\circ) ,$ sledi $\text{tg} 15^\circ > 0 .$ Zamenjujemo vrednost $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ u formulu:

\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{1 + \cos 30^\circ}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}}

Sređujemo dvojni razlomak unutar korena:

\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}

Vršimo racionalizaciju izraza pod korenom množenjem brojioca i imenioca sa $2 - \sqrt{3} :$

\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}}

Računamo vrednost u imeniocu i uprošćavamo koren:

\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}

Kako je $2 > \sqrt{3} ,$ izraz $2 - \sqrt{3}$ je pozitivan, pa je konačan rezultat:

\text{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}

726.v