2575. Trigonometrijske funkcije poluugla

Primetimo da ugao od $15^\circ$ možemo zapisati kao polovinu ugla od $30^\circ .$ Koristićemo formulu za kosinus polovine ugla:

| \cos \frac{\alpha}{2} | = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}

U našem slučaju je $\alpha = 30^\circ ,$ pa je $\frac{\alpha}{2} = 15^\circ .$ Kako se ugao od $15^\circ$ nalazi u prvom kvadrantu, vrednost kosinusa je pozitivna, pa definišemo apsolutnu vrednost:

| \cos 15^\circ | = \begin{cases} \cos 15^\circ, & \text{za } \cos 15^\circ \ge 0 \\ -\cos 15^\circ, & \text{za } \cos 15^\circ < 0 \end{cases}

Pošto je $15^\circ \in (0^\circ, 90^\circ) ,$ sledi da je $\cos 15^\circ > 0 .$ Sada primenjujemo formulu:

\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}}

Znamo da je $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Zamenom ove vrednosti dobijamo:

\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

Sređujemo izraz u brojicu pod korenom svođenjem na zajednički imenilac:

\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}

Izvlačimo koren iz imenioca:

\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

Da bismo dodatno uprostili izraz, možemo proširiti razlomak pod korenom sa 2 kako bismo dobili potpun kvadrat u brojicu:

\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{8}} = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{8}}

Primetimo da je $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2 ,$ a $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} :$

\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

Racionalizacijom imenioca (množenjem sa $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ) dobijamo konačan rezultat:

\cos 15^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

726.b