2567. Trigonometrijske funkcije poluugla

Primetimo da je $15^\circ$ polovina ugla od $30^\circ .$ Koristićemo formulu za sinus polovine ugla:

| \sin \frac{\alpha}{2} | = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}

U našem slučaju, postavljamo $\alpha = 30^\circ ,$ pa je $\frac{\alpha}{2} = 15^\circ .$ Prvo definišemo apsolutnu vrednost:

| \sin 15^\circ | = \begin{cases} \sin 15^\circ, & \text{za } \sin 15^\circ \ge 0 \\ -\sin 15^\circ, & \text{za } \sin 15^\circ < 0 \end{cases}

Pošto se ugao $15^\circ$ nalazi u prvom kvadrantu, sinus tog ugla je pozitivan, pa imamo:

\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}}

Znamo da je $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Zamenom ove vrednosti u izraz dobijamo:

\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

Sređujemo izraz u brojicu pod korenom svođenjem na zajednički imenilac:

\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}

Korenujemo imenilac i dobijamo:

\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}

Da bismo izvukli faktore i pojednostavili dvostruki koren, možemo proširiti razlomak pod korenom sa 2:

\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}

Primetimo da je $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2 .$ Tada je:

\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}

Racionalizacijom imenioca (množenjem sa $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ) dobijamo konačan rezultat:

\sin 15^\circ = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

726.a