2573. Trigonometrijske funkcije poluugla

Krenućemo od desne strane izraza i primeniti formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla. Primetimo da se ugao $\alpha$ može zapisati kao $2 \cdot \frac{\alpha}{2} .$

\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}{1 + \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}

Koristimo adicionu formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x .$

\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Koristimo adicionu formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x .$

\cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo dobijene izraze u početni razlomak.

\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ kako bismo uprostili imenilac.

\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}

Skraćujemo razlomak sa zajedničkim faktorom $2 \cos \frac{\alpha}{2} ,$ uz uslov da je on različit od nule.

\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Na osnovu definicije funkcije tangens, dobijamo traženi izraz.

\text{tg} \frac{\alpha}{2}

725.b