2573.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: tgα2=sin⁡α1+cos⁡α, \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} , za α≠π(2k+1),k∈Z. \alpha \neq \pi(2k + 1), k \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od desne strane izraza i primeniti formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla. Primetimo da se ugao α \alpha može zapisati kao 2⋅α2. 2 \cdot \frac{\alpha}{2} .

sin⁡α1+cos⁡α=sin⁡(2⋅α2)1+cos⁡(2⋅α2)\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}{1 + \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}

Koristimo adicionu formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2 \sin x \cos x .

sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Koristimo adicionu formulu za kosinus dvostrukog ugla: cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x. \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x .

cos⁡α=cos⁡2α2−sin⁡2α2\cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo dobijene izraze u početni razlomak.

2sin⁡α2cos⁡α21+cos⁡2α2−sin⁡2α2\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1−sin⁡2α2=cos⁡2α2 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2} kako bismo uprostili imenilac.

2sin⁡α2cos⁡α2cos⁡2α2+cos⁡2α2=2sin⁡α2cos⁡α22cos⁡2α2\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}

Skraćujemo razlomak sa zajedničkim faktorom 2cos⁡α2, 2 \cos \frac{\alpha}{2} , uz uslov da je on različit od nule.

sin⁡α2cos⁡α2\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Na osnovu definicije funkcije tangens, dobijamo traženi izraz.

tgα2\text{tg} \frac{\alpha}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti