2572.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: tgα2=1−cos⁡αsin⁡α, \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} , za α≠πk,k∈Z. \alpha \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od desne strane identiteta i transformisati je koristeći formule za polovinu ugla i dvostruki ugao. Prvo, zapišimo izraz na desnoj strani:

1−cos⁡αsin⁡α\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla u obliku cos⁡α=1−2sin⁡2α2, \cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} , odakle sledi:

1−cos⁡α=2sin⁡2α21 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}

Zatim primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na imenilac:

sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu razlomak:

2sin⁡2α22sin⁡α2cos⁡α2\frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}

Sada skraćujemo razlomak sa zajedničkim faktorom 2sin⁡α2, 2\sin \frac{\alpha}{2} , uz uslov da je on različit od nule:

sin⁡α2cos⁡α2\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Na osnovu definicije tangensa, dobijeni izraz je jednak tangensu polovine ugla:

tgα2\text{tg} \frac{\alpha}{2}

Ovim je dokazano da je desna strana jednaka levoj strani identiteta:

1−cos⁡αsin⁡α=tgα2\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{tg} \frac{\alpha}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti