2572. Trigonometrijske funkcije poluugla

Krenućemo od desne strane identiteta i transformisati je koristeći formule za polovinu ugla i dvostruki ugao. Prvo, zapišimo izraz na desnoj strani:

\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla u obliku $\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} ,$ odakle sledi:

1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}

Zatim primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na imenilac:

\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu razlomak:

\frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}

Sada skraćujemo razlomak sa zajedničkim faktorom $2\sin \frac{\alpha}{2} ,$ uz uslov da je on različit od nule:

\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Na osnovu definicije tangensa, dobijeni izraz je jednak tangensu polovine ugla:

\text{tg} \frac{\alpha}{2}

Ovim je dokazano da je desna strana jednaka levoj strani identiteta:

\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{tg} \frac{\alpha}{2}

725.a