2571.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Ako je tgα=247 \text{tg} \alpha = \frac{24}{7} i α∈(π,3π2), \alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) , izračunati: sin⁡α2, \sin \frac{\alpha}{2} , cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} i tgα2. \text{tg} \frac{\alpha}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo odrediti vrednost cos⁡α. \cos \alpha . Koristimo vezu između tangensa i kosinusa preko identiteta 1+tg2α=1cos⁡2α. 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} .

1+(247)2=1cos⁡2α  ⟹  1+57649=1cos⁡2α  ⟹  62549=1cos⁡2α1 + \left(\frac{24}{7}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies 1 + \frac{576}{49} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \frac{625}{49} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Odavde dobijamo vrednost za cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

cos⁡2α=49625\cos^2 \alpha = \frac{49}{625}

Kako je α∈(π,3π2), \alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) , ugao se nalazi u trećem kvadrantu gde je kosinus negativan.

cos⁡α=−49625=−725\cos \alpha = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}

Sada određujemo u kom se kvadrantu nalazi ugao α2. \frac{\alpha}{2} . Polazimo od datog intervala za α. \alpha .

π<α<3π2  ⟹  π2<α2<3π4\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \implies \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}

Ugao α2 \frac{\alpha}{2} pripada drugom kvadrantu. U drugom kvadrantu sinus je pozitivan, dok su kosinus i tangens negativni.

Definišemo apsolutnu vrednost za sinus polovine ugla.

∣sin⁡α2∣={sin⁡α2,za sin⁡α2≥0−sin⁡α2,za sin⁡α2<0\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Računamo sin⁡α2 \sin \frac{\alpha}{2} koristeći formulu za polovinu ugla, uzimajući u obzir da je vrednost pozitivna.

sin⁡α2=1−cos⁡α2=1−(−725)2=32252=1625=45\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{7}{25})}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Definišemo apsolutnu vrednost za kosinus polovine ugla.

∣cos⁡α2∣={cos⁡α2,za cos⁡α2≥0−cos⁡α2,za cos⁡α2<0\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Računamo cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} koristeći formulu za polovinu ugla, uzimajući u obzir da je vrednost negativna.

cos⁡α2=−1+cos⁡α2=−1+(−725)2=−18252=−925=−35\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{7}{25})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{18}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}

Definišemo apsolutnu vrednost za tangens polovine ugla.

∣tgα2∣={tgα2,za tgα2≥0−tgα2,za tgα2<0\left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Računamo tgα2 \text{tg} \frac{\alpha}{2} kao količnik sinusa i kosinusa polovine ugla.

tgα2=sin⁡α2cos⁡α2=45−35=−43\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti