Poluugao: sin, cos i tg α/2 ako je tg α = 24/7

Prvo moramo odrediti vrednost $\cos \alpha .$ Koristimo vezu između tangensa i kosinusa preko identiteta $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} .$

1 + \left(\frac{24}{7}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies 1 + \frac{576}{49} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \frac{625}{49} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Odavde dobijamo vrednost za $\cos^2 \alpha .$

\cos^2 \alpha = \frac{49}{625}

Kako je $\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) ,$ ugao se nalazi u trećem kvadrantu gde je kosinus negativan.

\cos \alpha = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}

Sada određujemo u kom se kvadrantu nalazi ugao $\frac{\alpha}{2} .$ Polazimo od datog intervala za $\alpha .$

\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \implies \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}

Ugao $\frac{\alpha}{2}$ pripada drugom kvadrantu. U drugom kvadrantu sinus je pozitivan, dok su kosinus i tangens negativni.

Definišemo apsolutnu vrednost za sinus polovine ugla.

\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Računamo $\sin \frac{\alpha}{2}$ koristeći formulu za polovinu ugla, uzimajući u obzir da je vrednost pozitivna.

\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{7}{25})}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Definišemo apsolutnu vrednost za kosinus polovine ugla.

\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Računamo $\cos \frac{\alpha}{2}$ koristeći formulu za polovinu ugla, uzimajući u obzir da je vrednost negativna.

\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{7}{25})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{18}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}

Definišemo apsolutnu vrednost za tangens polovine ugla.

\left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Računamo $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$ kao količnik sinusa i kosinusa polovine ugla.

\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}

Započni učenje

Online časovi

730

Beleške