2580.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Izračunati: sin⁡α2, \sin \frac{\alpha}{2} , cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} i tgα2, \text{tg} \frac{\alpha}{2} , ako je cos⁡α=−1213 \cos \alpha = -\frac{12}{13} i α∈(π,3π2). \alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo interval u kojem se nalazi polovina ugla α. \alpha . Kako je π<α<3π2, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} , deljenjem sa 2 dobijamo:

π2<α2<3π4\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}

U drugom kvadrantu, sinus je pozitivan, dok su kosinus i tangens negativni. Definišemo apsolutne vrednosti za funkcije polovine ugla:

∣sin⁡α2∣={sin⁡α2,za sin⁡α2≥0−sin⁡α2,za sin⁡α2<0|\sin \frac{\alpha}{2}| = \begin{cases} \sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\sin \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \sin \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Definišemo apsolutnu vrednost za kosinus polovine ugla:

∣cos⁡α2∣={cos⁡α2,za cos⁡α2≥0−cos⁡α2,za cos⁡α2<0|\cos \frac{\alpha}{2}| = \begin{cases} \cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Računamo vrednost sin⁡α2. \sin \frac{\alpha}{2} . Kako je polovina ugla u drugom kvadrantu, sinus je pozitivan:

sin⁡α2=1−cos⁡α2=1−(−1213)2=1+12132=25132=2526=526\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}

Racionalizacijom dobijamo konačnu vrednost za sinus:

sin⁡α2=52626\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26}

Računamo vrednost cos⁡α2. \cos \frac{\alpha}{2} . Kako je polovina ugla u drugom kvadrantu, kosinus je negativan:

cos⁡α2=−1+cos⁡α2=−1+(−1213)2=−1−12132=−1132=−126=−126\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}}

Racionalizacijom dobijamo konačnu vrednost za kosinus:

cos⁡α2=−2626\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26}

Računamo vrednost tgα2 \text{tg} \frac{\alpha}{2} koristeći dobijene vrednosti sinusa i kosinusa:

tgα2=sin⁡α2cos⁡α2=526−126=−5\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{5}{\sqrt{26}}}{-\frac{1}{\sqrt{26}}} = -5

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti