2101.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡6α+cos⁡6α−34(1sec⁡2α−1cosec2α)2\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - \frac{3}{4} \left( \frac{1}{\sec^2 \alpha} - \frac{1}{\text{cosec}^2 \alpha} \right)^2
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo iskoristiti osnovne trigonometrijske identitete da izrazimo sekans i kosekans preko sinusa i kosinusa. Znamo da važi sec⁡α=1cos⁡α \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} i cosecα=1sin⁡α. \text{cosec} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} .

1sec⁡2α=cos⁡2αi1cosec2α=sin⁡2α\frac{1}{\sec^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \quad \text{i} \quad \frac{1}{\text{cosec}^2 \alpha} = \sin^2 \alpha

Zamenom ovih identiteta u početni izraz dobijamo:

sin⁡6α+cos⁡6α−34(cos⁡2α−sin⁡2α)2\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - \frac{3}{4} (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2

Sada ćemo uprostiti prvi deo izraza, odnosno zbir šestih stepena. Koristimo formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2), a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) , gde su a=sin⁡2α a = \sin^2 \alpha i b=cos⁡2α. b = \cos^2 \alpha .

sin⁡6α+cos⁡6α=(sin⁡2α)3+(cos⁡2α)3=(sin⁡2α+cos⁡2α)(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)

Kako je osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , izraz se svodi na:

1⋅(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)1 \cdot (\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)

Da bismo dalje uprostili ovaj izraz, dodajemo i oduzimamo 2sin⁡2αcos⁡2α 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha kako bismo napravili kvadrat binoma od sin⁡4α+cos⁡4α. \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha .

(sin⁡4α+2sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)−2sin⁡2αcos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α(\sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Grupisanjem članova dobijamo kvadrat binoma, pa se izraz za zbir šestih stepena konačno svodi na:

(sin⁡2α+cos⁡2α)2−3sin⁡2αcos⁡2α=12−3sin⁡2αcos⁡2α=1−3sin⁡2αcos⁡2α(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Sada prelazimo na drugi deo izraza, odnosno kvadriranje binoma (cos⁡2α−sin⁡2α)2. (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2 .

(cos⁡2α−sin⁡2α)2=cos⁡4α−2sin⁡2αcos⁡2α+sin⁡4α(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha

Slično kao u prethodnom koraku, grupišemo cos⁡4α+sin⁡4α \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha i dopunjujemo do kvadrata binoma.

(cos⁡2α+sin⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α−2sin⁡2αcos⁡2α=1−4sin⁡2αcos⁡2α(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Sada vraćamo oba uprošćena dela u početni izraz.

(1−3sin⁡2αcos⁡2α)−34(1−4sin⁡2αcos⁡2α)(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \frac{3}{4} (1 - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)

Množimo zagradu sa −34 -\frac{3}{4} i oslobađamo se zagrada.

1−3sin⁡2αcos⁡2α−34+3sin⁡2αcos⁡2α1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \frac{3}{4} + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Članovi −3sin⁡2αcos⁡2α -3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha i 3sin⁡2αcos⁡2α 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha se potiru, pa ostaje samo da oduzmemo konstante.

1−34=141 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti