2105.

629.g

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

1+ctg⁡α1−ctg⁡α−tg⁡α+1tg⁡α−1\frac{1 + \ctg \alpha}{1 - \ctg \alpha} - \frac{\tg \alpha + 1}{\tg \alpha - 1}
REŠENJE ZADATKA

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje tangens i kotangens. Znamo da je kotangens recipročna vrednost tangensa:

ctg⁡α=1tg⁡α\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}

Zamenjujemo ctg⁡α \ctg \alpha sa 1tg⁡α \frac{1}{\tg \alpha} u prvom razlomku datog izraza:

1+1tg⁡α1−1tg⁡α−tg⁡α+1tg⁡α−1\frac{1 + \frac{1}{\tg \alpha}}{1 - \frac{1}{\tg \alpha}} - \frac{\tg \alpha + 1}{\tg \alpha - 1}

Svodimo brojilac i imenilac prvog razlomka na zajednički imenilac, što je tg⁡α: \tg \alpha :

tg⁡α+1tg⁡αtg⁡α−1tg⁡α−tg⁡α+1tg⁡α−1\frac{\frac{\tg \alpha + 1}{\tg \alpha}}{\frac{\tg \alpha - 1}{\tg \alpha}} - \frac{\tg \alpha + 1}{\tg \alpha - 1}

Rešavamo dvostruki razlomak tako što skraćujemo zajednički imenilac tg⁡α: \tg \alpha :

tg⁡α+1tg⁡α−1−tg⁡α+1tg⁡α−1\frac{\tg \alpha + 1}{\tg \alpha - 1} - \frac{\tg \alpha + 1}{\tg \alpha - 1}

Sada imamo razliku dva potpuno ista razlomka, pa je rezultat nula:

00