Uprošćavanje izraza sa sec kvadrat α i cosec kvadrat α

Prvo ćemo se podsetiti osnovnih trigonometrijskih identiteta za sekans i kosekans. Sekans je recipročna vrednost kosinusa, a kosekans recipročna vrednost sinusa.

\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}, \quad \text{cosec} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}

Sada ćemo izraziti imenioce preko sinusa i kosinusa. Krenimo od prvog imenioca $\sec^2 \alpha - 1 .$

\sec^2 \alpha - 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ znamo da je $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha .$ Time dobijamo definiciju za tangens na kvadrat.

\sec^2 \alpha - 1 = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tg^2 \alpha

Slično, transformišemo i drugi imenilac $\text{cosec}^2 \alpha - 1 .$

\text{cosec}^2 \alpha - 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Ponovo primenjujemo osnovni identitet, gde je $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha ,$ i dobijamo definiciju za kotangens na kvadrat.

\text{cosec}^2 \alpha - 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \ctg^2 \alpha

Sada vraćamo dobijene izraze za imenioce u početni zadatak.

\frac{\sin^2 \alpha}{\tg^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha}

Zamenjujemo tangens i kotangens njihovim definicijama preko sinusa i kosinusa kako bismo uprostili dvojne razlomke.

\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} + \frac{\cos^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}

Rešavamo dvojne razlomke. U prvom sabirku se krati $\sin^2 \alpha ,$ a u drugom $\cos^2 \alpha .$

\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha

Na kraju, primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet i dobijamo konačan rezultat.

\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1

Započni učenje

Privatni časovi

630.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci