Uprošćavanje izraza sa razlikom četvrtih stepena

Prvo ćemo uprostiti levi razlomak. Primetimo da se brojilac može faktorisati kao razlika kvadrata koristeći formulu $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) ,$ gde je $a = \sin^2 \alpha$ i $b = \cos^2 \alpha .$

\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u levi razlomak i skraćivanjem sa imeniocem dobijamo:

\frac{(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ vrednost prvog razlomka je:

1

Sada uprošćavamo desni razlomak. Brojilac je zbir kubova. Koristimo formulu $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) ,$ gde je $a = \sin \alpha$ i $b = \cos \alpha .$

\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u desni razlomak i skraćivanjem sa imeniocem dobijamo:

\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ na dobijeni izraz:

1 - \sin \alpha \cos \alpha

Sada oduzimamo uprošćeni desni razlomak od uprošćenog levog razlomka:

1 - (1 - \sin \alpha \cos \alpha)

Oslobađanjem od zagrade dobijamo konačan rezultat:

1 - 1 + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha

Započni učenje

Privatni časovi

630.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci