2411.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz korišćenjem svođenja na oštar ugao i osnovnih trigonometrijskih identiteta:

sin⁡4(π+α)−cos⁡4(π−α)cos⁡2(π2+α)−sin⁡2(α−π2)−sin⁡3(π−α)+cos⁡3(α−2π)cos⁡(α−π2)+sin⁡(π2+α)\frac{\sin^4(\pi + \alpha) - \cos^4(\pi - \alpha)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) - \sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)} - \frac{\sin^3(\pi - \alpha) + \cos^3(\alpha - 2\pi)}{\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravila za svođenje na oštar ugao za svaki član u prvom razlomku. Koristimo činjenicu da su funkcije na kvadrat ili četvrti stepen uvek nenegativne, ali pratimo osnovna pravila transformacije:

sin⁡(π+α)=−sin⁡α  ⟹  sin⁡4(π+α)=(−sin⁡α)4=sin⁡4αcos⁡(π−α)=−cos⁡α  ⟹  cos⁡4(π−α)=(−cos⁡α)4=cos⁡4αcos⁡(π2+α)=−sin⁡α  ⟹  cos⁡2(π2+α)=(−sin⁡α)2=sin⁡2αsin⁡(α−π2)=−sin⁡(π2−α)=−cos⁡α  ⟹  sin⁡2(α−π2)=cos⁡2α\begin{aligned} \sin(\pi + \alpha) &= -\sin \alpha \implies \sin^4(\pi + \alpha) = (-\sin \alpha)^4 = \sin^4 \alpha \\ \cos(\pi - \alpha) &= -\cos \alpha \implies \cos^4(\pi - \alpha) = (-\cos \alpha)^4 = \cos^4 \alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) &= -\sin \alpha \implies \cos^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = (-\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha \\ \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) &= -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos \alpha \implies \sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos^2 \alpha \end{aligned}

Slično, transformišemo članove u drugom razlomku. Koristimo parnost kosinusa cos⁡(−x)=cos⁡x: \cos(-x) = \cos x :

sin⁡(π−α)=sin⁡αcos⁡(α−2π)=cos⁡(−(2π−α))=cos⁡(2π−α)=cos⁡αcos⁡(α−π2)=cos⁡(π2−α)=sin⁡αsin⁡(π2+α)=cos⁡α\begin{aligned} \sin(\pi - \alpha) &= \sin \alpha \\ \cos(\alpha - 2\pi) &= \cos(-(2\pi - \alpha)) = \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) &= \cos \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz:

sin⁡4α−cos⁡4αsin⁡2α−cos⁡2α−sin⁡3α+cos⁡3αsin⁡α+cos⁡α\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}

Rastavljamo brojioce koristeći razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) i zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2): a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) :

(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)sin⁡2α−cos⁡2α−(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)sin⁡α+cos⁡α\frac{(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} - \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha}

Skraćujemo razlomke i koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :

(sin⁡2α+cos⁡2α)−(sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)

Sređujemo preostali izraz:

1−(1−sin⁡αcos⁡α)=1−1+sin⁡αcos⁡α=sin⁡αcos⁡α1 - (1 - \sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti