2514.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1+sin⁡2αcos⁡2α=sin⁡α+cos⁡αcos⁡α−sin⁡α\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta. Prvo ćemo transformisati brojilac koristeći osnovni trigonometrijski identitet 1=sin⁡2α+cos⁡2α 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha i formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .

1+sin⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡α1 + \sin 2\alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha

Primećujemo da je dobijeni izraz u brojiocu zapravo kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α=(sin⁡α+cos⁡α)2\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2

Sada transformišemo imenilac leve strane koristeći formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Izraz u imeniocu možemo rastaviti kao razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) .

cos⁡2α−sin⁡2α=(cos⁡α−sin⁡α)(cos⁡α+sin⁡α)\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)

Sada uvrštavamo transformisani brojilac i imenilac nazad u početni izraz na levoj strani.

1+sin⁡2αcos⁡2α=(sin⁡α+cos⁡α)2(cos⁡α−sin⁡α)(cos⁡α+sin⁡α)\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}

Skraćujemo zajednički faktor (sin⁡α+cos⁡α) (\sin \alpha + \cos \alpha) u brojiocu i imeniocu.

(sin⁡α+cos⁡α)⋅(sin⁡α+cos⁡α)(cos⁡α−sin⁡α)⋅(cos⁡α+sin⁡α)=sin⁡α+cos⁡αcos⁡α−sin⁡α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot (\sin \alpha + \cos \alpha)}{(\cos \alpha - \sin \alpha) \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}

Dobijeni izraz je identičan desnoj strani polazne jednakosti, čime je dokaz završen.

sin⁡α+cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=sin⁡α+cos⁡αcos⁡α−sin⁡α\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti