Dokaz identiteta sa 1 + sin 2 alfa i cos 2 alfa

Počinjemo od leve strane identiteta. Prvo ćemo transformisati brojilac koristeći osnovni trigonometrijski identitet $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ i formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .$

1 + \sin 2\alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha

Primećujemo da je dobijeni izraz u brojiocu zapravo kvadrat binoma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2

Sada transformišemo imenilac leve strane koristeći formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .$

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Izraz u imeniocu možemo rastaviti kao razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) .$

\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)

Sada uvrštavamo transformisani brojilac i imenilac nazad u početni izraz na levoj strani.

\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}

Skraćujemo zajednički faktor $(\sin \alpha + \cos \alpha)$ u brojiocu i imeniocu.

\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot (\sin \alpha + \cos \alpha)}{(\cos \alpha - \sin \alpha) \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}

Dobijeni izraz je identičan desnoj strani polazne jednakosti, čime je dokaz završen.

\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}

Započni učenje

Online časovi

700

Beleške