2522.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: cos⁡4α+sin⁡4α=1−0,5sin⁡22α. \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = 1 - 0,5 \sin^2 2\alpha .

REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta. Izraz cos⁡4α+sin⁡4α \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha možemo posmatrati kao deo kvadrata binoma (cos⁡2α+sin⁡2α)2. (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 .

cos⁡4α+sin⁡4α=(cos⁡2α+sin⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 kako bismo pojednostavili prvi deo izraza.

12−2sin⁡2αcos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Sada transformišemo drugi deo izraza koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha . Primetimo da je sin⁡22α=(2sin⁡αcos⁡α)2=4sin⁡2αcos⁡2α. \sin^2 2\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .

2sin⁡2αcos⁡2α=12⋅(4sin⁡2αcos⁡2α)=12sin⁡22α2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot (4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha

Zamenom dobijenog rezultata u izraz sa leve strane, dobijamo desnu stranu identiteta. Broj 12 \frac{1}{2} zapisujemo kao 0,5. 0,5 .

1−0,5sin⁡22α1 - 0,5 \sin^2 2\alpha

Zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

cos⁡4α+sin⁡4α=1−0,5sin⁡22α\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = 1 - 0,5 \sin^2 2\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti