2522. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Počinjemo od leve strane identiteta. Izraz $\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha$ možemo posmatrati kao deo kvadrata binoma $(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 .$

\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ kako bismo pojednostavili prvi deo izraza.

1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Sada transformišemo drugi deo izraza koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .$ Primetimo da je $\sin^2 2\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .$

2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot (4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha

Zamenom dobijenog rezultata u izraz sa leve strane, dobijamo desnu stranu identiteta. Broj $\frac{1}{2}$ zapisujemo kao $0,5 .$

1 - 0,5 \sin^2 2\alpha

Zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = 1 - 0,5 \sin^2 2\alpha

699