2521.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1−cos⁡2α+sin⁡2α1+cos⁡2α+sin⁡2α=tg α\frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg } \alpha
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formule za dvostruki ugao na levu stranu identiteta. Koristimo identitete sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha i cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha . Takođe, koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1=sin⁡2α+cos⁡2α 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha kako bismo transformisali konstantu 1.

L=1−(cos⁡2α−sin⁡2α)+2sin⁡αcos⁡α1+(cos⁡2α−sin⁡2α)+2sin⁡αcos⁡αL = \frac{1 - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha}

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu oslobađanjem zagrada i grupisanjem članova.

L=1−cos⁡2α+sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α1+cos⁡2α−sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡αL = \frac{1 - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}

Zamenjujemo 1−cos⁡2α 1 - \cos^2 \alpha sa sin⁡2α \sin^2 \alpha u brojiocu, i 1−sin⁡2α 1 - \sin^2 \alpha sa cos⁡2α \cos^2 \alpha u imeniocu.

L=sin⁡2α+sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α+cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡αL = \frac{\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}

Sabiramo slične članove u brojiocu i imeniocu.

L=2sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α2cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡αL = \frac{2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu i imeniocu. U brojiocu je to 2sin⁡α, 2 \sin \alpha , a u imeniocu 2cos⁡α. 2 \cos \alpha .

L=2sin⁡α(sin⁡α+cos⁡α)2cos⁡α(cos⁡α+sin⁡α)L = \frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}

Skraćujemo razlomak zajedničkim faktorima 2 2 i (sin⁡α+cos⁡α). (\sin \alpha + \cos \alpha) .

L=sin⁡αcos⁡αL = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Na osnovu definicije tangensa, dobijamo desnu stranu identiteta.

L=tg αL = \text{tg } \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti