PrethodniSledeći
2531.

703

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡22α, \sin^2 2\alpha , ako je 1sin⁡2α+1cos⁡2α+1tg2α+1ctg2α=7. \frac{1}{\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\text{tg}^2 \alpha} + \frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = 7 .

REŠENJE ZADATKA

Zamenjujemo recipročne vrednosti tangensa i kotangensa odgovarajućim izrazima preko sinusa i kosinusa: 1tg2α=cos⁡2αsin⁡2α \frac{1}{\text{tg}^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} i 1ctg2α=sin⁡2αcos⁡2α. \frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} .

1sin⁡2α+1cos⁡2α+cos⁡2αsin⁡2α+sin⁡2αcos⁡2α=7\frac{1}{\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 7

Grupišemo sabirke koji imaju isti imenilac.

1+cos⁡2αsin⁡2α+1+sin⁡2αcos⁡2α=7\frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 7

Svodimo izraze na zajednički imenilac sin⁡2αcos⁡2α. \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .

(1+cos⁡2α)cos⁡2α+(1+sin⁡2α)sin⁡2αsin⁡2αcos⁡2α=7\frac{(1 + \cos^2 \alpha)\cos^2 \alpha + (1 + \sin^2 \alpha)\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Množimo izraze u brojiocu.

cos⁡2α+cos⁡4α+sin⁡2α+sin⁡4αsin⁡2αcos⁡2α=7\frac{\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

1+sin⁡4α+cos⁡4αsin⁡2αcos⁡2α=7\frac{1 + \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Izraz sin⁡4α+cos⁡4α \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha možemo zapisati kao (sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α. (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .

1+(sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2αsin⁡2αcos⁡2α=7\frac{1 + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Ponovo primenjujemo sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

1+12−2sin⁡2αcos⁡2αsin⁡2αcos⁡2α=7\frac{1 + 1^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Sređujemo brojilac i izvlačimo zajednički faktor.

2(1−sin⁡2αcos⁡2α)sin⁡2αcos⁡2α=7\frac{2(1 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Množimo jednačinu sa sin⁡2αcos⁡2α. \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .

2−2sin⁡2αcos⁡2α=7sin⁡2αcos⁡2α2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 7\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Prebacujemo sve članove sa sin⁡2αcos⁡2α \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha na desnu stranu.

2=9sin⁡2αcos⁡2α2 = 9\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Izražavamo proizvod sin⁡2αcos⁡2α. \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .

sin⁡2αcos⁡2α=29\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{2}{9}

Znamo da je formula za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α, \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha , pa kvadriranjem dobijamo sin⁡22α=4sin⁡2αcos⁡2α. \sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .

sin⁡22α=4⋅29\sin^2 2\alpha = 4 \cdot \frac{2}{9}

Konačan rezultat je:

sin⁡22α=89\sin^2 2\alpha = \frac{8}{9}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu