Kvadrat sinusa 2 alfa iz zbira recipročnih 7

Zamenjujemo recipročne vrednosti tangensa i kotangensa odgovarajućim izrazima preko sinusa i kosinusa: $\frac{1}{\text{tg}^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ i $\frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} .$

\frac{1}{\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 7

Grupišemo sabirke koji imaju isti imenilac.

\frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 7

Svodimo izraze na zajednički imenilac $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .$

\frac{(1 + \cos^2 \alpha)\cos^2 \alpha + (1 + \sin^2 \alpha)\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Množimo izraze u brojiocu.

\frac{\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

\frac{1 + \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Izraz $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$ možemo zapisati kao $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .$

\frac{1 + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Ponovo primenjujemo $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

\frac{1 + 1^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Sređujemo brojilac i izvlačimo zajednički faktor.

\frac{2(1 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 7

Množimo jednačinu sa $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .$

2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 7\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Prebacujemo sve članove sa $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ na desnu stranu.

2 = 9\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Izražavamo proizvod $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .$

\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{2}{9}

Znamo da je formula za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ,$ pa kvadriranjem dobijamo $\sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .$

\sin^2 2\alpha = 4 \cdot \frac{2}{9}

Konačan rezultat je:

\sin^2 2\alpha = \frac{8}{9}

Započni učenje

Online časovi

703

Beleške