2535.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraze:

A=cos⁡π7cos⁡4π7cos⁡5π7A = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se ugao 5π7 \frac{5\pi}{7} može zapisati kao π−2π7. \pi - \frac{2\pi}{7} . Koristeći osobinu cos⁡(π−α)=−cos⁡α, \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha , dobijamo:

cos⁡5π7=cos⁡(π−2π7)=−cos⁡2π7\cos \frac{5\pi}{7} = \cos\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = -\cos \frac{2\pi}{7}

Zamenom u početni izraz i preuređivanjem redosleda činilaca, izraz postaje:

A=−cos⁡π7cos⁡2π7cos⁡4π7A = -\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}

Množimo i delimo izraz sa 2sin⁡π7 2 \sin \frac{\pi}{7} kako bismo iskoristili formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :

A=−2sin⁡π7cos⁡π7cos⁡2π7cos⁡4π72sin⁡π7A = -\frac{2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}}

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na deo izraza 2sin⁡π7cos⁡π7: 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} :

A=−sin⁡2π7cos⁡2π7cos⁡4π72sin⁡π7A = -\frac{\sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}}

Množimo brojilac i imenilac sa 2 2 da bismo ponovo primenili istu formulu:

A=−2sin⁡2π7cos⁡2π7cos⁡4π74sin⁡π7A = -\frac{2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{4 \sin \frac{\pi}{7}}

Primenjujemo formulu na deo izraza 2sin⁡2π7cos⁡2π7: 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} :

A=−sin⁡4π7cos⁡4π74sin⁡π7A = -\frac{\sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{4 \sin \frac{\pi}{7}}

Još jednom množimo brojilac i imenilac sa 2: 2 :

A=−2sin⁡4π7cos⁡4π78sin⁡π7A = -\frac{2 \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}}

Primenjujemo formulu na deo izraza 2sin⁡4π7cos⁡4π7: 2 \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} :

A=−sin⁡8π78sin⁡π7A = -\frac{\sin \frac{8\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}}

Ugao 8π7 \frac{8\pi}{7} možemo zapisati kao π+π7. \pi + \frac{\pi}{7} . Koristeći osobinu sin⁡(π+α)=−sin⁡α, \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha , dobijamo:

sin⁡8π7=sin⁡(π+π7)=−sin⁡π7\sin \frac{8\pi}{7} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin \frac{\pi}{7}

Zamenom ovog rezultata u izraz za A, A , dobijamo konačno rešenje:

A=−−sin⁡π78sin⁡π7=18A = -\frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti