2533. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ na brojilac, izražavajući ga preko polovine ugla.

\cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}

Razlažemo dobijeni izraz u brojiocu kao razliku kvadrata.

\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \right)

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ na imenilac.

\sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{4} .$

\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{\alpha}{2}

Izvlačimo zajednički faktor u imeniocu.

\frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \right)

Zamenjujemo dobijene izraze za brojilac i imenilac u početni razlomak.

\frac{\left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \right)}{\frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \right)}

Skraćujemo razlomak sa $\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} .$

\frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}

Sređujemo dvojni razlomak množenjem sa recipročnom vrednošću imenioca.

\frac{2}{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right)

Racionališemo razlomak $\frac{2}{\sqrt{2}}$ tako što ga pomnožimo sa $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} .$

\frac{2 \sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right)

704.b