2534. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Da bismo našli $\sin 2x$ preko tangensa, možemo iskoristiti formulu za dvostruki ugao i osnovne trigonometrijske identitete:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x = 2 \text{tg } x \cdot \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x} = \frac{2 \text{tg } x}{1 + \text{tg}^2 x}

Prvo računamo vrednost za $\text{tg}^2 x$ kvadriranjem datog izraza:

\text{tg}^2 x = (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti u formulu za $\sin 2x :$

\sin 2x = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{1 + (7 - 4\sqrt{3})}

Sređujemo izraz u imeniocu:

\sin 2x = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{8 - 4\sqrt{3}}

Izvlačimo zajednički faktor u imeniocu kako bismo skratili razlomak:

\sin 2x = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{4(2 - \sqrt{3})}

Skraćujemo iste članove u brojiocu i imeniocu i dobijamo konačno rešenje:

\sin 2x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

705.a