2536. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Izražavamo kosinus dvostrukog ugla preko tangensa. Polazimo od osnovne formule za kosinus dvostrukog ugla:

\cos 2x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}

Deljenjem brojioca i imenioca sa $\cos^2 x$ dobijamo formulu koja povezuje $\cos 2x$ i $\text{tg } x :$

\cos 2x = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x}

Prvo računamo vrednost za $\text{tg}^2 x :$

\text{tg}^2 x = (2 - \sqrt{3})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma:

\text{tg}^2 x = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}

Zamenjujemo dobijenu vrednost u formulu za $\cos 2x :$

\cos 2x = \frac{1 - (7 - 4\sqrt{3})}{1 + (7 - 4\sqrt{3})}

Oslobađamo se zagrada i sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu:

\cos 2x = \frac{1 - 7 + 4\sqrt{3}}{1 + 7 - 4\sqrt{3}} = \frac{-6 + 4\sqrt{3}}{8 - 4\sqrt{3}}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu i imeniocu kako bismo skratili razlomak:

\cos 2x = \frac{2(-3 + 2\sqrt{3})}{4(2 - \sqrt{3})} = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2(2 - \sqrt{3})}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa $2 + \sqrt{3} :$

\cos 2x = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2(2 - \sqrt{3})} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}

Množimo izraze u brojiocu, dok u imeniocu primenjujemo razliku kvadrata:

\cos 2x = \frac{-6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 2(\sqrt{3})^2}{2(2^2 - (\sqrt{3})^2)}

Sređujemo brojilac i imenilac:

\cos 2x = \frac{-6 + \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{2(4 - 3)} = \frac{-6 + \sqrt{3} + 6}{2 \cdot 1}

Konačno rešenje je:

\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}

705.b