2537. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Koristimo formulu za tangens dvostrukog ugla:

\text{tg } 2x = \frac{2 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg } x = 2 - \sqrt{3}$ u formulu:

\text{tg } 2x = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{1 - (2 - \sqrt{3})^2}

Kvadriramo izraz u imeniocu:

(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}

Zamenjujemo kvadrirani izraz nazad u imenilac:

\text{tg } 2x = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{1 - (7 - 4\sqrt{3})}

Sređujemo imenilac:

1 - (7 - 4\sqrt{3}) = 1 - 7 + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 6

Dobijamo sledeći izraz:

\text{tg } 2x = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4\sqrt{3} - 6}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu i imeniocu i skraćujemo razlomak:

\text{tg } 2x = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2(2\sqrt{3} - 3)} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa $2\sqrt{3} + 3 :$

\text{tg } 2x = \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3} \cdot \frac{2\sqrt{3} + 3}{2\sqrt{3} + 3}

Množimo imenilac koristeći formulu za razliku kvadrata:

(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3) = (2\sqrt{3})^2 - 3^2 = 12 - 9 = 3

Množimo brojilac:

(2 - \sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3) = 4\sqrt{3} + 6 - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 6 - 6 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}

Zamenjujemo dobijene vrednosti za brojilac i imenilac i dobijamo konačno rešenje:

\text{tg } 2x = \frac{\sqrt{3}}{3}

2537.Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla