2532. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Koristićemo formulu za kotangens dvostrukog ugla:

\text{ctg } 2x = \frac{\text{ctg}^2 x - 1}{2 \text{ctg } x}

Prvo računamo vrednost za $\text{ctg } x ,$ znajući da je $\text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x} .$

\text{ctg } x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa $2 + \sqrt{3} .$

\text{ctg } x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}

Sada zamenjujemo dobijenu vrednost u formulu za $\text{ctg } 2x .$

\text{ctg } 2x = \frac{(2 + \sqrt{3})^2 - 1}{2(2 + \sqrt{3})}

Kvadriramo izraz u brojiocu.

(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}

Zamenjujemo kvadrirani izraz nazad u brojilac i uprošćavamo.

\text{ctg } 2x = \frac{7 + 4\sqrt{3} - 1}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{2(2 + \sqrt{3})}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu i skraćujemo razlomak.

\text{ctg } 2x = \frac{2(3 + 2\sqrt{3})}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa $2 - \sqrt{3} .$

\text{ctg } 2x = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}

Množimo izraze i dobijamo konačno rešenje.

\text{ctg } 2x = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6 + \sqrt{3} - 2 \cdot 3}{4 - 3} = \sqrt{3}

705.g