PrethodniSledeći
2538.

706

TEKST ZADATKA

Šta je veće: tg 2α \text{tg } 2\alpha ili 2 tg α, 2 \text{ tg } \alpha , ako α∈(0,π4)? \alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right) ?

REŠENJE ZADATKA

Da bismo uporedili ova dva izraza, posmatraćemo njihovu razliku.

tg 2α−2 tg α\text{tg } 2\alpha - 2 \text{ tg } \alpha

Koristimo formulu za tangens dvostrukog ugla.

tg 2α=2tg α1−tg2α\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Zamenjujemo formulu u izraz za razliku.

2tg α1−tg2α−2 tg α\frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - 2 \text{ tg } \alpha

Izvlačimo zajednički faktor 2 tg α. 2 \text{ tg } \alpha .

2 tg α(11−tg2α−1)2 \text{ tg } \alpha \left( \frac{1}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - 1 \right)

Svodićemo izraz u zagradi na zajednički imenilac.

2 tg α(1−(1−tg2α)1−tg2α)2 \text{ tg } \alpha \left( \frac{1 - (1 - \text{tg}^2 \alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \right)

Sređujemo brojilac u zagradi.

2 tg α⋅tg2α1−tg2α2 \text{ tg } \alpha \cdot \frac{\text{tg}^2 \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Množimo izraze.

2tg3α1−tg2α\frac{2 \text{tg}^3 \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Sada analiziramo znak dobijenog izraza za dato α∈(0,π4). \alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right) . Znamo da je na tom intervalu tangens strogo pozitivan i manji od 1.

0<tg α<10 < \text{tg } \alpha < 1

Pošto je tg α>0, \text{tg } \alpha > 0 , sledi da je i brojilac pozitivan.

2tg3α>02 \text{tg}^3 \alpha > 0

Pošto je tg α<1, \text{tg } \alpha < 1 , sledi da je tg2α<1, \text{tg}^2 \alpha < 1 , pa je imenilac takođe pozitivan.

1−tg2α>01 - \text{tg}^2 \alpha > 0

Kako su i brojilac i imenilac pozitivni, ceo razlomak je pozitivan.

2tg3α1−tg2α>0\frac{2 \text{tg}^3 \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} > 0

Zaključujemo da je razlika pozitivna, što znači da je prvi izraz veći od drugog.

tg 2α>2 tg α\text{tg } 2\alpha > 2 \text{ tg } \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu