Sinus dvostrukog ugla: sin 4x preko sin x i cos x

Polazimo od leve strane jednakosti. Izraz $\sin 4x$ možemo zapisati kao sinus dvostrukog ugla:

\sin 4x = \sin(2 \cdot 2x)

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha ,$ gde je $\alpha = 2x :$

\sin(2 \cdot 2x) = 2 \sin 2x \cos 2x

Sada ponovo primenjujemo formule za dvostruki ugao na $\sin 2x$ i $\cos 2x :$

\sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Zamenjujemo ove izraze u prethodnu jednačinu:

2 \sin 2x \cos 2x = 2 (2 \sin x \cos x) (\cos^2 x - \sin^2 x)

Množimo konstante ispred zagrade:

4 \sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x)

Da bismo dobili traženi izraz na desnoj strani, potrebno je da izrazimo $\cos^2 x$ preko $\sin^2 x$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x :$

4 \sin x \cos x ((1 - \sin^2 x) - \sin^2 x)

Sređivanjem izraza u zagradi dobijamo konačan rezultat:

4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)

Ovim smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

\sin 4x = 4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)

Započni učenje

Online časovi

707.a

Beleške