2563.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati:

sin⁡4x=4sin⁡xcos⁡x(1−2sin⁡2x)\sin 4x = 4 \sin x \cos x(1 - 2 \sin^2 x)
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Izraz sin⁡4x \sin 4x možemo zapisati kao sinus dvostrukog ugla:

sin⁡4x=sin⁡(2⋅2x)\sin 4x = \sin(2 \cdot 2x)

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α, \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha , gde je α=2x: \alpha = 2x :

sin⁡(2⋅2x)=2sin⁡2xcos⁡2x\sin(2 \cdot 2x) = 2 \sin 2x \cos 2x

Sada ponovo primenjujemo formule za dvostruki ugao na sin⁡2x \sin 2x i cos⁡2x: \cos 2x :

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡xcos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Zamenjujemo ove izraze u prethodnu jednačinu:

2sin⁡2xcos⁡2x=2(2sin⁡xcos⁡x)(cos⁡2x−sin⁡2x)2 \sin 2x \cos 2x = 2 (2 \sin x \cos x) (\cos^2 x - \sin^2 x)

Množimo konstante ispred zagrade:

4sin⁡xcos⁡x(cos⁡2x−sin⁡2x)4 \sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x)

Da bismo dobili traženi izraz na desnoj strani, potrebno je da izrazimo cos⁡2x \cos^2 x preko sin⁡2x \sin^2 x koristeći osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2x=1−sin⁡2x: \cos^2 x = 1 - \sin^2 x :

4sin⁡xcos⁡x((1−sin⁡2x)−sin⁡2x)4 \sin x \cos x ((1 - \sin^2 x) - \sin^2 x)

Sređivanjem izraza u zagradi dobijamo konačan rezultat:

4sin⁡xcos⁡x(1−2sin⁡2x)4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)

Ovim smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

sin⁡4x=4sin⁡xcos⁡x(1−2sin⁡2x)\sin 4x = 4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti