2544. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Polazimo od leve strane jednakosti. Izraz $\cos 4x$ možemo zapisati kao kosinus dvostrukog ugla.

\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x)

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha ,$ gde je $\alpha = 2x .$

\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x ,$ izražavamo sve preko kosinusa.

\cos 4x = \cos^2 2x - (1 - \cos^2 2x)

Sređujemo dobijeni izraz.

\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1

Sada primenjujemo istu formulu za kosinus dvostrukog ugla na $\cos 2x .$

\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Ponovo koristimo identitet $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ da bismo izrazili $\cos 2x$ samo preko kosinusa.

\cos 2x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1

Zamenjujemo dobijeni izraz za $\cos 2x$ u jednačinu izvedenu za $\cos 4x .$

\cos 4x = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1

Kvadriramo izraz u zagradi koristeći formulu za kvadrat binoma $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .$

\cos 4x = 2(4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1) - 1

Množimo zagradu sa 2.

\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 2 - 1

Oduzimanjem konstanti dobijamo traženi izraz, čime je osnovni dokaz završen.

\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1

Prateći uputstvo o izvlačenju zajedničkog faktora u krajnjem rešenju, izdvajamo $8\cos^2 x$ iz prva dva člana.

\cos 4x = 8\cos^2 x(\cos^2 x - 1) + 1

707.b