2542.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati:

tg 4x=4 tg x−4 tg3x1−6 tg2x+tg4x\text{tg } 4x = \frac{4 \text{ tg } x - 4 \text{ tg}^3 x}{1 - 6 \text{ tg}^2 x + \text{tg}^4 x}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Zapisujemo ugao 4x 4x kao dvostruki ugao 2⋅2x. 2 \cdot 2x .

tg 4x=tg (2⋅2x)\text{tg } 4x = \text{tg }(2 \cdot 2x)

Primenjujemo formulu za tangens dvostrukog ugla: tg 2α=2tg α1−tg2α, \text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} , gde je α=2x. \alpha = 2x .

tg (2⋅2x)=2tg 2x1−tg22x\text{tg }(2 \cdot 2x) = \frac{2 \text{tg } 2x}{1 - \text{tg}^2 2x}

Ponovo primenjujemo istu formulu, ovog puta za tg 2x \text{tg } 2x u brojiocu i imeniocu.

=2⋅2tg x1−tg2x1−(2tg x1−tg2x)2= \frac{2 \cdot \frac{2 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}}{1 - \left( \frac{2 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x} \right)^2}

Sređujemo izraz kvadriranjem u imeniocu i množenjem u brojiocu.

=4tg x1−tg2x1−4tg2x(1−tg2x)2= \frac{\frac{4 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}}{1 - \frac{4 \text{tg}^2 x}{(1 - \text{tg}^2 x)^2}}

Svodimo imenilac velikog razlomka na zajednički imenilac (1−tg2x)2. (1 - \text{tg}^2 x)^2 .

=4tg x1−tg2x(1−tg2x)2−4tg2x(1−tg2x)2= \frac{\frac{4 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}}{\frac{(1 - \text{tg}^2 x)^2 - 4 \text{tg}^2 x}{(1 - \text{tg}^2 x)^2}}

Kvadriramo binom (1−tg2x)2=1−2tg2x+tg4x (1 - \text{tg}^2 x)^2 = 1 - 2 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x u brojiocu donjeg razlomka.

=4tg x1−tg2x1−2tg2x+tg4x−4tg2x(1−tg2x)2= \frac{\frac{4 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}}{\frac{1 - 2 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x - 4 \text{tg}^2 x}{(1 - \text{tg}^2 x)^2}}

Grupišemo slične monome u imeniocu.

=4tg x1−tg2x1−6tg2x+tg4x(1−tg2x)2= \frac{\frac{4 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}}{\frac{1 - 6 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x}{(1 - \text{tg}^2 x)^2}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

=4tg x⋅(1−tg2x)2(1−tg2x)⋅(1−6tg2x+tg4x)= \frac{4 \text{tg } x \cdot (1 - \text{tg}^2 x)^2}{(1 - \text{tg}^2 x) \cdot (1 - 6 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x)}

Skraćujemo razlomak sa (1−tg2x) (1 - \text{tg}^2 x) i dobijamo faktorisan oblik.

=4tg x(1−tg2x)1−6tg2x+tg4x= \frac{4 \text{tg } x (1 - \text{tg}^2 x)}{1 - 6 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x}

Množenjem članova u brojiocu dobijamo tačno onaj izraz koji se tražio u postavci zadatka, čime je dokaz završen.

=4tg x−4tg3x1−6tg2x+tg4x= \frac{4 \text{tg } x - 4 \text{tg}^3 x}{1 - 6 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x}

Kao konačan odgovor, poštujući pravilo o izvlačenju zajedničkog faktora, rešenje zapisujemo u faktorisanoj formi.

tg 4x=4tg x(1−tg2x)1−6tg2x+tg4x\text{tg } 4x = \frac{4 \text{tg } x (1 - \text{tg}^2 x)}{1 - 6 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti