Sinus dvostrukog ugla: 1/sin 10° − √3/cos 10° = 4

Polazimo od leve strane jednakosti i svodimo izraze na zajednički imenilac:

\frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Množimo i delimo brojilac sa $2$ kako bismo pripremili izraz za primenu adicione formule:

\frac{2 \left( \frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ \right)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Zamenjujemo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ$ i $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^\circ :$

\frac{2 (\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Primenjujemo formulu za sinus razlike uglova $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ u brojiocu:

\frac{2 \sin(30^\circ - 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Množimo i delimo imenilac sa $2$ kako bismo primenili formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :$

\frac{2 \sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \sin 20^\circ}

Skraćujemo $\sin 20^\circ$ u brojiocu i imeniocu i računamo konačnu vrednost:

\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

Ovim smo dobili desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} = 4

708.a