2565.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati:

1sin⁡10∘−3cos⁡10∘=4\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} = 4
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti i svodimo izraze na zajednički imenilac:

cos⁡10∘−3sin⁡10∘sin⁡10∘cos⁡10∘\frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Množimo i delimo brojilac sa 2 2 kako bismo pripremili izraz za primenu adicione formule:

2(12cos⁡10∘−32sin⁡10∘)sin⁡10∘cos⁡10∘\frac{2 \left( \frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ \right)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Zamenjujemo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija 12=sin⁡30∘ \frac{1}{2} = \sin 30^\circ i 32=cos⁡30∘: \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^\circ :

2(sin⁡30∘cos⁡10∘−cos⁡30∘sin⁡10∘)sin⁡10∘cos⁡10∘\frac{2 (\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Primenjujemo formulu za sinus razlike uglova sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta u brojiocu:

2sin⁡(30∘−10∘)sin⁡10∘cos⁡10∘=2sin⁡20∘sin⁡10∘cos⁡10∘\frac{2 \sin(30^\circ - 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Množimo i delimo imenilac sa 2 2 kako bismo primenili formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :

2sin⁡20∘12⋅2sin⁡10∘cos⁡10∘=2sin⁡20∘12sin⁡20∘\frac{2 \sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \sin 20^\circ}

Skraćujemo sin⁡20∘ \sin 20^\circ u brojiocu i imeniocu i računamo konačnu vrednost:

212=4\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

Ovim smo dobili desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

1sin⁡10∘−3cos⁡10∘=4\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} = 4

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti