2562.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati:

1cos⁡15∘+3sin⁡15∘=8sin⁡75∘\frac{1}{\cos 15^\circ} + \frac{\sqrt{3}}{\sin 15^\circ} = 8 \sin 75^\circ
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo levu stranu jednakosti i svedimo je na zajednički imenilac.

1cos⁡15∘+3sin⁡15∘=sin⁡15∘+3cos⁡15∘sin⁡15∘cos⁡15∘\frac{1}{\cos 15^\circ} + \frac{\sqrt{3}}{\sin 15^\circ} = \frac{\sin 15^\circ + \sqrt{3} \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}

Primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha na imenilac.

sin⁡15∘cos⁡15∘=12⋅2sin⁡15∘cos⁡15∘=12sin⁡30∘\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ

Zamenimo poznatu vrednost za sin⁡30∘. \sin 30^\circ .

12sin⁡30∘=12⋅12=14\frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Sada transformišimo brojilac tako što ćemo izvući zajednički faktor 2. 2 .

sin⁡15∘+3cos⁡15∘=2(12sin⁡15∘+32cos⁡15∘)\sin 15^\circ + \sqrt{3} \cos 15^\circ = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 15^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 15^\circ \right)

Prepoznamo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao od 60∘. 60^\circ .

cos⁡60∘=12,sin⁡60∘=32\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Zamenimo ove vrednosti u izraz za brojilac.

2(sin⁡15∘cos⁡60∘+cos⁡15∘sin⁡60∘)2 (\sin 15^\circ \cos 60^\circ + \cos 15^\circ \sin 60^\circ)

Primenimo adicionu formulu za sinus zbira sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .

2sin⁡(15∘+60∘)=2sin⁡75∘2 \sin(15^\circ + 60^\circ) = 2 \sin 75^\circ

Vratimo dobijene vrednosti brojioca i imenioca u početni razlomak.

2sin⁡75∘14=8sin⁡75∘\frac{2 \sin 75^\circ}{\frac{1}{4}} = 8 \sin 75^\circ

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani, čime je dokaz završen.

8sin⁡75∘=8sin⁡75∘8 \sin 75^\circ = 8 \sin 75^\circ

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti