2551.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 709-712):

tg2α+ctg2α−6tg2α+ctg2α+2=cos⁡4α\frac{\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha - 6}{\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + 2} = \cos 4\alpha
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Prvo ćemo transformisati izraz tg2α+ctg2α+2 \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + 2 koji se nalazi u imeniocu. Prepoznajemo da je to kvadrat binoma, s obzirom na to da važi 2tg αctg α=2: 2 \text{tg } \alpha \text{ctg } \alpha = 2 :

tg2α+ctg2α+2=(tg α+ctg α)2\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + 2 = (\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)^2

Sada ćemo izraziti tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa kako bismo uprostili izraz u zagradi:

tg α+ctg α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Svodeći na zajednički imenilac i primenom osnovnog trigonometrijskog identiteta sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 dobijamo:

sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1sin⁡αcos⁡α\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}

Množenjem brojioca i imenioca sa 2, možemo primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :

22sin⁡αcos⁡α=2sin⁡2α\frac{2}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin 2\alpha}

Vraćamo dobijeni rezultat u kvadrat binoma kako bismo dobili konačan oblik imenioca:

tg2α+ctg2α+2=(2sin⁡2α)2=4sin⁡22α\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + 2 = \left( \frac{2}{\sin 2\alpha} \right)^2 = \frac{4}{\sin^2 2\alpha}

Sada posmatramo brojilac polaznog izraza. Možemo ga zapisati preko izraza koji smo upravo izračunali:

tg2α+ctg2α−6=(tg2α+ctg2α+2)−8\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha - 6 = (\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + 2) - 8

Zamenjujemo izračunatu vrednost i svodimo na zajednički imenilac:

4sin⁡22α−8=4−8sin⁡22αsin⁡22α\frac{4}{\sin^2 2\alpha} - 8 = \frac{4 - 8 \sin^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}

Izvlačimo zajednički faktor 4 u brojiocu:

4(1−2sin⁡22α)sin⁡22α\frac{4(1 - 2 \sin^2 2\alpha)}{\sin^2 2\alpha}

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡4α=cos⁡22α−sin⁡22α=1−2sin⁡22α \cos 4\alpha = \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha na izraz u zagradi:

4cos⁡4αsin⁡22α\frac{4 \cos 4\alpha}{\sin^2 2\alpha}

Sada zamenjujemo transformisani brojilac i imenilac u početni razlomak:

4cos⁡4αsin⁡22α4sin⁡22α\frac{\frac{4 \cos 4\alpha}{\sin^2 2\alpha}}{\frac{4}{\sin^2 2\alpha}}

Skraćivanjem razlomka sa 4sin⁡22α \frac{4}{\sin^2 2\alpha} dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen:

cos⁡4α\cos 4\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti