2560.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 709-712):

sin⁡x+sin⁡2x1+cos⁡x+cos⁡2x=tg x\frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x} = \text{tg } x
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta.

sin⁡x+sin⁡2x1+cos⁡x+cos⁡2x\frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x}

Primenjujemo formule za dvostruki ugao: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x \sin 2x = 2 \sin x \cos x i cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x. \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x .

sin⁡x+2sin⁡xcos⁡x1+cos⁡x+cos⁡2x−sin⁡2x\frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{1 + \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x}

U imeniocu grupišemo 1 1 i −sin⁡2x -\sin^2 x i primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet 1−sin⁡2x=cos⁡2x. 1 - \sin^2 x = \cos^2 x .

sin⁡x+2sin⁡xcos⁡xcos⁡x+cos⁡2x+cos⁡2x\frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{\cos x + \cos^2 x + \cos^2 x}

Sređujemo imenilac sabiranjem istih članova.

sin⁡x+2sin⁡xcos⁡xcos⁡x+2cos⁡2x\frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{\cos x + 2 \cos^2 x}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu (sin⁡x \sin x ) i u imeniocu (cos⁡x \cos x ).

sin⁡x(1+2cos⁡x)cos⁡x(1+2cos⁡x)\frac{\sin x (1 + 2 \cos x)}{\cos x (1 + 2 \cos x)}

Skraćujemo razlomak sa 1+2cos⁡x. 1 + 2 \cos x .

sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x}

Primenjujemo definiciju tangensa (tg x=sin⁡xcos⁡x \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} ), čime dobijamo desnu stranu i dokazujemo identitet.

tg x\text{tg } x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti