2561.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo ćemo primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla na izraz $\cos 4\alpha .$ Znamo da je $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x ,$ pa važi:

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 2\alpha = 1 - \cos^2 2\alpha ,$ izraz možemo zapisati samo preko kosinusa:

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu levu stranu jednakosti:

Sređujemo izraz sabiranjem slobodnih članova:

Izvlačimo zajednički faktor $2$ ispred zagrade:

Primećujemo da je izraz u zagradi kvadrat binoma:

Sada primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla na $\cos 2\alpha$ unutar zagrade i koristimo činjenicu da je $1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha :$

Zamenjujemo ovaj rezultat nazad u izraz sa kvadratom binoma:

Kvadriramo izraz u zagradi i množimo sa $2 :$

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan.